Чем больше масса тем больше гравитация

Мифы популярной физики, продолжение: Гравитация

Первая часть статьи тут. А мы пока разберем другие мифы, о которых вам не расскажут эти два парня:

Масса быстро летящих тел увеличивается

Когда-то у меня была книжка по теории относительности, выпущенная еще в СССР. Как сейчас помню, там была нарисована иллюстрация: летит ракета (с околосветовой скоростью) и чудовищной гравитацией подтягивает к себе планеты, звезды, галактики… Все это растет вот от этой формулы:

Где большое M это “релятивистская” масса. Это понятие было очень популярно в начале XX века, но потом сам Эйнштейн его и похоронил. Собственно, с точностью до множителя «цэ» квадрат эта величина совпадает с полной энергией тела, поэтому нет смысла иметь две разные физические величины, которые отличаются только множителем (а в “естественной” системе единиц, где c=1, эти величины вообще тождественны). По умолчанию же при слове “масса” подразумевается масса покоя (более правильно говорить – инвариантная масса).

Однако, популяризаторы науки читали много ранних работ физиков – ведь они хотели описать, с чего все начиналось. Так они откопали стюардессу вытащили релятивистскую массу на страницы своих книг. Это, в общем, не так страшно, важно только понимать, что никакого отношения к гравитации эта величина не имеет. Вот пример:

На картинке A имеем два шара одинаковой массы в покое относительно наблюдателя. Благодаря гравитации через минуту шары притягиваются друг к другу. Теперь вариант B – шары летят близко к скорости света. Пусть Лоренц фактор 2 (замедление времени в два раза, сокращение длины в два раза, “релятивистская масса” больше массы покоя в два раза). За сколько времени эти два шара притянутся друг к другу?

Задача решается просто. С точки зрения наблюдателя, сидящего на шаре, шары столкнутся все равно через минуту (принцип эквивалентности). Но время в системе шаров замедленно для наблюдателя, который на них смотрит со стороны. Значит, это произойдёт медленнее, а не быстрее, как думают многие (потому что, дескать, релятивистская масса увеличилась)

Если звезду разогнать до большой скорости, то она может стать черной дырой

Нет. Тут единственное что можно сказать – смотри выше.

Если тело нагреть, то оно весит больше.

А вот это правда. Тут стоит остановиться на том, что, собственно, создает гравитацию:

Это тензор, матрица 4 на 4. Откуда число 4? Три пространственных измерения и одно временное. На диагонали имеем: в левом верхнем углу плотность энергии (для материи упрощенно можно думать о массе покоя умноженной на цэ-квадрат). Далее идет давление (по трем измерениям). Остальные клеточки важны для бурлящих плазм с потоками близкими к скорости света. Нагревая тело, мы увеличиваем давление внутри него (для простоты лучше рассмотреть газ)

Тут уместно задать интересный вопрос. Но ведь давление газа – это движение молекул! То есть вместо одного тела с давлением внутри можно рассмотреть много отдельных движущихся молекул, а давление равно нулю? Верно. Более того, это можно сделать даже для “газа”, состоящего из звезд – вы можете рассчитать движение всех звезд индивидуально, а можете сказать, что галактика содержит “газ” из звезд под определённым давлением. И результат будет один и тот же!

Здесь очень помогает такое свойство ОТО: в системе координат, где общий импульс системы равен нулю, мы можем заменить весь этот тензор просто определённым значением массы (то есть оставить одну клеточку) (если не учитывать потери на излучение гравитационных волн). Таким образом, мы можем просто сказать, что нагретое тело тяжелее, и не интересоваться, что там происходит внутри. Знаете, что мне это напоминает из мира IT? Инкапсуляцию!

Притягивает ли свет другие предметы?

Все знают, что свет отклоняется звездами. А вот притягивает ли свет сам другие предметы? Многие считают, что нет, потому что “масса покоя фотона равна нулю”. Возвращаясь к нашему тензору, энергия фотонов не равна нулю, а еще они имеют импульс и создают давление — почти все клеточки ненулевые! Фотонный газ, заключенный в идеальную зеркальную оболочку, будет создавать гравитацию.

Свет притягивается и друг к другу, и из света можно сделать черную дыру. Два луча фонариков, направленные друг к другу, будут искривляться, притягиваясь друг к другу. Интересно, что два луча, идущих в одном направлении, не взаимодействуют (вы можете это представить как предельный случай первого примера с шарами). В частности, луч света не может “само фокусироваться” за счет гравитации.

А в общем случае все очень плохо

Если у нас много взаимодействующих тел, то что есть масса системы? Мы не можем, как в классической механике, взять и просуммировать массы. Наблюдатели, сидящие на разных звездах, будут иметь разные мнения об одновременности событий, о массе разных тел, о центре масс системы. Для ряда частных случаев разработаны понятия массы Комара (не насекомого, а ученого с таким именем!), ADM mass, Bondi mass – подробно тут. Но это все частные случаи. В общем случае непонятно, что такое масса в ОТО. Кстати, понятия “потенциальная энергия гравитационного поля” в общем случае тоже нет.

Спасибо за комментарии к первой части. Их было столько, что я не мог физически ответить на все. Часто повторялся вопрос – вот вы утверждаете что-то, а почему вы должны вам верить, это ваше слово против нашего. Цель этой статьи — это не доказать вам что либо, а лишь предоставить вам отправные точки для гугления.

Источник

Закон всемирного тяготения

Гравитационное взаимодействие

Земля — это большой магнит. Причем на самом деле магнит, с настоящим магнитным полем. Но сейчас речь пойдет о другом явлении, которое притягивает к Земле тела — от прыгающего с дерева котика до летящего мимо астероида. Называется это явление гравитацией.Земля — это большой магнит. Причем на самом деле магнит, с настоящим магнитным полем. Но сейчас речь пойдет о другом явлении, которое притягивает к Земле тела — от прыгающего с дерева котика до летящего мимо астероида. Называется это явление гравитацией.

Возьмем два тела — одно с большой массой, другое с маленькой. Натянем гигантское полотно ткани и положим на него тело с большей массой. После чего положим туда тело с массой поменьше. Мы будем наблюдать примерно такую картину:

Маленькое тело начнет притягиваться к тому, что больше, — это и есть гравитация. По сути, Земля — это большой шарик, а все остальные предметы — маленький (даже если это вовсе не шарики).

Гравитационное взаимодействие универсально. Оно справедливо для всех видов материи. Гравитация проявляется только в притяжении — отталкивание тел гравитация не предусматривает.

Из всех фундаментальных взаимодействий гравитационное — самое слабое. Хотя гравитация действует между всеми элементарными частицами, она настолько слаба, что ее принято не учитывать. Все дело в том, что гравитационное взаимодействие зависит от массы объекта, а у частиц она крайне мала. Эту зависимость впервые сформулировал Исаак Ньютон.

Закон всемирного тяготения

В 1682 году Исаак Ньютон открыл закон всемирного тяготения. Он звучит так: все тела притягиваются друг к другу, сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Формула силы тяготения согласно этому закону выглядит так:

Закон всемирного тяготения

F — сила тяготения [Н]

M — масса первого тела (часто планеты) [кг]

m — масса второго тела [кг]

R — расстояние между телами [м]

G — гравитационная постоянная

Когда мы встаем на весы, стрелка отклоняется. Это происходит потому, что масса Земли очень большая, и сила тяготения буквально придавливает нас к поверхности. На более легкой Луне человек весит меньше в шесть раз.

Закон всемирного тяготения используют, чтобы вычислить силы взаимодействия между телами любой формы, если размеры тел значительно меньше расстояния между ними.

Если мы возьмем два шара, то для них можно использовать этот закон вне зависимости от расстояния между ними. За расстояние R между телами в этом случае принимается расстояние между центрами шаров.

Приливы и отливы существуют благодаря закону всемирного тяготения. В этом видео я рассказываю, что общего у приливов и прыщей.

Задачка раз

Две планеты с одинаковыми массами обращаются по круговым орбитам вокруг звезды. У первой из них радиус орбиты вдвое больше, чем у второй. Каково отношение сил притяжения первой и второй планеты к звезде?

Решение

По закону всемирного тяготения сила притяжения планеты к звезде обратно пропорциональна квадрату радиуса орбиты. Таким образом, в силу равенства масс отношение сил притяжения к звезде первой и второй планет обратно пропорционально отношению квадратов радиусов орбит:

По условию, у первой планеты радиус орбиты вдвое больше, чем у второй, то есть R₁=2R₂.

Ответ: отношение сил притяжения первой и второй планет к звезде равно 0,25.

Задачка два

У поверхности Луны на космонавта действует сила тяготения 144 Н. Какая сила тяготения действует со стороны Луны на того же космонавта в космическом корабле, движущемся по круговой орбите вокруг Луны на расстоянии трех лунных радиусов от ее центра?

Решение

По закону всемирного тяготения сила притяжения космонавта со стороны Луны обратно пропорциональна квадрату расстояния между ним и центром Луны. У поверхности Луны это расстояние совпадает с радиусом спутника. На космическом корабле, по условию, оно в три раза больше. Таким образом, сила тяготения со стороны Луны, действующая на космонавта на космическом корабле, в 9 раз меньше, чем у поверхности Луны, то есть:

Ответ: на расстоянии трех лунных радиусов от центра сила притяжения космонавта будет равна 16 Н.

Правильно говорить не «на тело действует сила тяготения», а «Земля притягивает тело с силой тяготения».

Ускорение свободного падения

Чтобы математически верно и красиво прийти к ускорению свободного падения, нам необходимо сначала ввести понятие силы тяжести.

Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает все тела.

Сила тяжести

F — сила тяжести [Н]

m — масса тела [кг]

g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]

На первый взгляд сила тяжести очень похожа на вес тела. Действительно, в состоянии покоя на поверхности Земли формулы силы тяжести и веса идентичны. Вес тела в состоянии покоя численно равен массе тела, умноженной на ускорение свободного падения, разница состоит лишь в точке приложения силы.

Сила тяжести — это сила, с которой Земля действует на тело, а вес — сила, с которой тело действует на опору. Это значит, что у них будут разные точки приложения: у силы тяжести к центру масс тела, а у веса — к опоре.

Также важно понимать, что сила тяжести зависит исключительно от массы и планеты, на которой тело находится. А вес зависит еще и от ускорения, с которым движется тело или опора.

Например, в лифте вес зависит от того, куда и с каким ускорением двигаются его пассажиры. А силе тяжести все равно, куда и что движется — она не зависит от внешних факторов.

На второй взгляд сила тяжести очень похожа на силу тяготения. В обоих случаях мы имеем дело с притяжением — значит, можем сказать, что это одно и то же. Практически.

Мы можем сказать, что это одно и то же, если речь идет о Земле и каком-то предмете, который к этой планете притягивается. Тогда мы можем даже приравнять эти силы и выразить формулу для ускорения свободного падения:

Приравниваем правые части:

Делим на массу левую и правую части:

Это и будет формула ускорения свободного падения. Ускорение свободного падения для каждой планеты уникально.

Закон всемирного тяготения

g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]

M — масса планеты [кг]

R — расстояние между телами [м]

G — гравитационная постоянная

Ускорение свободного падения характеризует то, как быстро увеличивается скорость тела при свободном падении.

Свободное падение — это ускоренное движение тела в безвоздушном пространстве, при котором на тело действует только сила тяжести.

Но разве это не зависит еще и от массы предмета?

Нет, не зависит. На самом деле все тела падают одинаково вне зависимости от массы. Если мы возьмем перо и мяч, то перо, конечно, будет падать медленнее, но не из-за ускорения свободного падения. Просто из-за небольшой массы пера сопротивление воздуха оказывает на него большее воздействие, чем на мяч. А вот если бы мы поместили перо и мяч в вакуум, они бы упали одновременно.

Третий закон Ньютона

Третий закон Ньютона обобщает огромное количество опытов, которые показывают, что силы — результат взаимодействия тел.

Он звучит так: тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.

Если попроще — сила действия равна силе противодействия.

Если вам вдруг придется объяснять физику во дворе, то можно сказать и так: на каждую силу найдется другая сила. 🙈

Третий закон Ньютона

F₁ — сила, с которой первое тело действует на второе [Н]

F₂ — сила, с которой второе тело действует на первое [Н]

Так вот, для силы тяготения третий закон Ньютона тоже справедлив. С какой силой Земля притягивает тело, с той же силой тело притягивает Землю.

Задачка для практики

Земля притягивает к себе подброшенный мяч с силой 5 Н. С какой силой этот мяч притягивает к себе Землю?

Решение

Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой Земля притягивает мяч, равна силе, с которой мяч притягивает Землю.

Ответ: мяч притягивает Землю с силой 5 Н.

Поначалу это кажется странным, потому что мы ассоциируем силу с перемещением: мол, если сила такая же, то на то же расстояние подвинется Земля. Формально это так, но у мяча масса намного меньше, чем у Земли. И Земля смещается на такое крошечное расстояние, притягиваясь к мячу, что мы его не видим, в отличие от падения мяча.

Если каждый брошенный мяч смещает Землю на какое-то расстояние, пусть даже крошечное, возникает вопрос — как она еще не слетела с орбиты из-за всех этих смещений. Но тут как в перетягивании каната: если его будут тянуть две равные по силе команды, канат никуда не сдвинется. Так же и с нашей планетой.

Источник