Чем больше период тем больше
Зависимость частоты и периода свободных колебаний от свойств системы
Собственная частота колебаний тела, прикрепленного к пружине, согласно уравнению (3.13) равна:
Она тем больше, чем больше жесткость пружины k, и тем меньше, чем больше масса тела m. Это легко понять: жесткая пружина сообщает телу большее ускорение, быстрее меняет скорость тела. А чем тело массивнее, тем медленнее оно изменяет скорость под влиянием силы. Период колебаний равен:
Располагая набором пружин различной жесткости и телами различной массы, нетрудно убедиться на опыте, что формулы (3.13) и (3.18) правильно описывают характер зависимости ω0 и Т от k и m.
Замечательно, что период колебаний тела на пружине и период колебаний маятника при малых углах отклонения не зависят от амплитуды колебаний.
Модуль коэффициента пропорциональности между ускорением аτ и смещением х в уравнении (3.10), описывающем колебания маятника, представляет собой, как и в уравнении (3.11), квадрат циклической частоты. Следовательно, собственная частота колебаний математического маятника при малых углах отклонения нити от вертикали зависит от длины маятника и ускорения свободного падения:
Период же этих колебаний равен:
Эта формула была впервые получена и проверена на опыте голландским ученым Г. Гюйгенсом — современником И. Ньютона. Она справедлива только для малых углов отклонения нити.
Период колебаний возрастает с увеличением длины маятника. От массы маятника он не зависит. Это легко проверить на опыте с различными маятниками. Зависимость периода колебаний от ускорения свободного падения также можно обнаружить. Чем меньше g, тем больше период колебаний маятника и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут за сутки почти на 3 с, если их поднять из подвала на верхний этаж Московского университета (высота 200 м). И это только за счет уменьшения ускорения свободного падения с высотой.
Зависимость периода колебаний маятника от значения g используется на практике. Измеряя период колебаний, можно очень точно определить g. Ускорение свободного падения меняется с географической широтой. Но и на данной широте оно не везде одинаково. Ведь плотность земной коры не всюду одинакова. В районах, где залегают плотные породы, ускорение g несколько большее. Это учитывают при поисках полезных ископаемых.
Так, железная руда обладает повышенной плотностью по сравнению с обычными породами. Проведенные под руководством академика А. А. Михайлова измерения ускорения свободного падения под Курском позволили уточнить места залегания железной руды. Сначала они были обнаружены посредством магнитных измерений.
Свойства механических колебаний используются в устройствах большинства электронных весов. Взвешиваемое тело кладут на платформу, под которой установлена жесткая пружина. В результате возникают механические колебания, частота которых измеряется соответствующим датчиком. Микропроцессор, связанный с этим датчиком, переводит частоту колебаний в массу взвешиваемого тела, так как эта частота зависит от массы.
Полученные формулы (3.18) и (3.20) для периода колебаний свидетельствуют о том, что период гармонических колебаний зависит от параметров системы (жесткости пружины, длины нити и т. д.)
Росстат зафиксировал потребительский бум на дорогие товары
В 2021 году в России выросли продажи предметов роскоши и дорогостоящих товаров длительного пользования: за январь—сентябрь часов было продано на 37,5% больше, чем за аналогичный период 2020 года, мобильных телефонов — на 27,9%, ювелирных изделий — на 26,6%, автомобилей — на 24,8%. Это следует из мониторинга социально-экономического положения, размещенного Росстатом 1 декабря. Речь идет о сравнении в сопоставимых ценах, то есть в реальном выражении.
Тенденция к росту покупок техники и драгоценностей прослеживается еще с прошлого года. Объемы реализации этих категорий товаров росли даже на фоне общего падения продаж в рознице во время различных карантинных ограничений. В сравнении с аналогичным периодом допандемийного 2019 года россияне приобрели более чем в полтора раза больше часов и смартфонов, а также компьютеров (последнее отчасти могло быть спровоцировано переходом компаний на удаленный режим работы), следует из данных, предоставленных РБК Росстатом. Продажи автомобилей тоже показали прирост по отношению к доковидному периоду, увеличившись более чем на четверть.
На мобильные телефоны, компьютеры, стиральные машины, автомобили, ювелирные изделия приходится более 11% всех розничных продаж, следует из данных Росстата. В то же время, согласно методологии ведомства, продажа товаров учитывается по полной стоимости (даже в случае скидок), а ЦБ еще в 2017 году указывал, что дефлятор, с помощью которого Росстат вычисляет оборот в сопоставимых ценах, не совсем корректно учитывает многочисленные торговые акции.
Почему изменилась стратегия потребления
О наблюдающемся повышенном спросе покупателей на предметы роскоши, дорогостоящую технику и украшения на форуме «Россия зовет» говорила гендиректор крупнейшего в стране маркетплейса Wildberries Татьяна Бакальчук. При этом на повседневных товарах клиенты экономят, подчеркнула она. «Мы видим, что у нас очень сильно растет потребление шуб, холодильников, стиральных машин, ювелирных изделий. Такая противоречивая динамика. На то, что потребляется каждодневно, цены падают, а с другой стороны, люди вкладывают все сбережения в то, что они привыкли считать надежным вложением», — сказала Бакальчук.
Тенденцию экономии на повседневных вещах косвенно подтверждает и статистика объемов продаж: по сравнению с прошлым годом на 2–5% упали продажи в сопоставимых ценах куриного мяса, яиц, соли, муки, макарон. В целом оборот розничной торговли за девять месяцев 2021 года увеличился на 8,4% в реальном выражении по сравнению с тем же периодом годовой давности.
Такая потребительская стратегия — экономить на повседневных вещах и покупать дорогостоящие — проявилась из-за неопределенности пандемийного времени, объясняет заместитель директора института «Центр развития» НИУ ВШЭ Валерий Миронов. В спокойное время потребитель действует под руководством совокупности трех факторов: полезности покупки в разных периодах жизни, субъективного желания и бюджетных ограничений. «Сейчас существует неопределенность, и рациональные ожидания могут заменяться. Это значит, что в качестве прогнозной инфляции берется в расчет сегодняшняя 10-процентная по продовольственным товарам в среднем, а не целевая четырехпроцентная, возврат к которой ЦБ России обещает в будущем. То же относится к процентным ставкам. В расчетах учитывается сегодняшняя высокая, а не рационально обоснованная низкая в соответствии со снизившейся инфляцией в будущем», — говорит Миронов. Другими словами, потребители мыслят быстрыми темпами удорожания, стараясь сделать дорогие покупки сейчас и, возможно, надеясь с учетом высокой инфляции выгодно продать их в будущем, предполагает эксперт.
За прошлый год денежные доходы населения упали на 3%, отчитывался Росстат. В этом году динамика развернулась — по итогам третьего квартала доходы выросли на 8,1% и превысили доковидный уровень 2019 года. Вслед за доходами выросла и доля потребительских расходов на товары и услуги — с 77,3% в первом полугодии 2020 года до 84,2% сейчас, отмечали эксперты НИУ ВШЭ в мониторинге социально-экономического положения. То есть россияне стали больше покупать, а не копить: если в прошлом году доля сбережений в структуре доходов составляла 7,9%, то в этом году она сократилась практически до нуля (0,5%). Эксперты ВШЭ тягу населения к шопингу объясняют эффектом «низкой базы» и фактором отложенного спроса: в период локдаунов магазины были закрыты, свободные деньги оставалось только откладывать, а теперь можно тратить.
«С возвращением к относительно нормальной жизни после смягчения ограничений, введенных в связи с COVID-19, потребители снова устремились в магазины и во втором квартале вызвали настоящий потребительский бум, подогреваемый сбережениями, накопившимися в течение 2020 года, и стремительным ростом кредитования», — написал Всемирный банк в докладе по российской экономике 1 декабря.
Какую роль играет инвестиционный мотив
Сейчас инвестиционный мотив для покупок автомобилей и недвижимости ослабевает на фоне их сильного подорожания, замечает Миронов. «Настала очередь бытовой техники (в том числе для обустройства второго загородного жилья, где можно спасаться от напастей), мощных продвинутых гаджетов, которые стали неотъемлемой частью нового пандемийного быта, а также ювелирных изделий, которые могут вырасти в цене на фоне возможного ослабления рубля, да и просто порадовать», — говорит экономист.
В массовом сегменте ювелирного рынка вырос средний чек покупки, хотя в физическом выражении количество проданных драгоценностей и граммов золотых изделий сократилось, рассказала генеральный директор Fashion Consulting Group Анна Лебсак-Клейманс. Одна из причин, по ее словам, — мотивация покупателя защитить накопленные или сэкономленные рубли от девальвации валют на фоне неопределенности с перспективами пандемии. Вторая причина — подорожание драгоценных металлов, камней и украшений из них. «В 2021 году цены на готовые изделия выросли на 20–40%. В начале 2020 года 1 г золота 585-й пробы стоил 1500–1600 руб., в конце 2021 года — уже 2600–2700 руб.», — отметила она.
Однако больше всего со временем дорожают в цене эксклюзивные изделия. «Год от года растут в цене украшения или часы, которые относятся к объектам коллекционирования. Поэтому топ-бренды-производители намеренно ограничивают доступность отдельных моделей, тем самым превращая их в предметы повышенного спроса», — отмечает Лебсак-Клейманс.
Гармонические колебания
теория по физике 🧲 колебания и волны
Гармоническими законами называют законы синуса и косинуса. Следовательно, гармоническими колебаниями называют те колебания, при которых координата тела изменяется синусоидально или косинусоидально.
Гармонические колебания — колебания, при которых координата тела изменяется с течением времени по гармоническому закону.
Ниже представлен график косинусоидальной функции. Обратите внимание, что косинус при возрастании аргумента от нуля сначала меняется медленно, а потом он все быстрее и быстрее приближается к нулю. Пройдя через него, его модуль снова быстро возрастает. Но по мере приближения к максимальному значению он снова замедляется. Точно так же меняются координаты свободно колеблющегося тела.
Важно! Гармоническими можно считать только те колебания, что совершаются грузом, закрепленном на пружине, или математическим маятником, отклоняемым на малый угол, при котором ускорение тела пропорционально его смещению.
Уравнение движения гармонических колебаний
Известно, что ускорение колеблющегося на пружине груза пропорционально его смещению от положения равновесия:
Также известно, что ускорение есть вторая производная координаты. Следовательно, при свободных колебаниях координата изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку.
Тогда первая производная примет вид:
Вторая производная примет вид:
Так как мы получили ровно такое же выражение, то описать свободные колебания можно уравнениями следующего вида:
Само уравнение движения, описывающего свободные колебания, примет вид:
Период и частота гармонических колебаний
Минимальный промежуток времени T, через который движение тела полностью повторяется, называют периодом колебания. Зная его, можно вычислить частоту колебаний, равную числу колебаний в единицу времени. Эти величины связаны между собой выражением:
Таким образом, величина ω 0 представляет собой число колебаний тела, но не за 1 секунду, а за 2 π секунд. Эта величина называется циклической (круговой) частотой. А частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы.
Зависимость частоты и периода свободных колебаний от свойств системы
Изначально за величину ω 0 мы принимали постоянную, характеризующую свойства системы:
Теперь мы выяснили, что циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний. Следовательно, период и частота колебаний также зависят от свойств системы:
Отсюда период и частота колебаний соответственно равны:
Отсюда период и частота колебаний математического маятника соответственно равны:
Эта формула была впервые получена и проверена на опыте голландским ученым Г. Гюйгенсом, современником И. Ньютона.
Период колебания возрастает с увеличением длины маятника. От массы маятника он не зависит. Это легко проверить на опыте с различными маятниками. Зависимость периода от ускорения свободного падения также легко прослеживается. Чем меньше величина g, тем больше период колебания маятника, и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут в сутки почти на 3 с, если их поднять из подвала на верхний этаж Московского университета, который находится на высоте 200 м. И это только за счет уменьшения ускорения свободного падения с высотой.
Зависимость периода колебаний маятника от значения g используется на практике. Измеряя период колебания, можно легко измерить g. Ускорение свободного падения меняется с географической широтой. Но и на данной широте оно неодинаково, так как плотность земной коры неоднородна. В районах, где залегают более плотные породы, ускорение свободного падения принимает большие значения.
Пример №1. Сколько колебаний совершает математический маятник длиной 4,9 м за время 5 минут?
Искомое число колебаний равно отношению времени к периоду колебаний:
Период колебаний для математического маятника определяется формулой:
Фаза колебаний
Величину ϕ, стоящую под знаком косинуса или синуса, называют фазой колебаний, описываемой этой функцией. Выражается фаза в угловых единицах — радианах (рад).
Фаза определяет значение не только координаты, но и других физических величин (к примеру, скорости и ускорения, которые также изменяются по гармоническому закону). Отсюда можно сделать вывод, что фаза определяет при заданной амплитуде состояния колебательной системы в любой момент времени.
Можно изобразить на графике зависимость координаты колеблющейся точки не от времени, а от фазы. В этом случае графиком также будет являться косинусоида (или синусоида), но аргументом функции будет не время (период), а фаза, выражающаяся в радианах (см. рис.).
Выбор закона зависит от условий задачи. Если колебания начинаются с того, что тело выводят из положения равновесия и отпускают, удобнее пользоваться косинусоидальным законом, поскольку в начальный момент времени косинусоида показывает, что это тело отклонено максимально, а не находится в положении равновесия. Если для того чтобы начались колебания, совершают толчок, удобнее использовать синусоидальный закон, так как начальному моменту времени на синусоиде соответствует положение равновесия.
Превращение энергии при гармонических колебаниях
Чтобы описать превращения энергии при гармонических колебаниях, условимся, что силой трения будем пренебрегать. Для описания обратимся к рисунку ниже.
Точке О на рисунке соответствует положение равновесия шарика. Если его оттянуть на расстояние xmax, равное амплитуде, пружина получит потенциальную энергию, которая примет в этом положении максимальное значение, равное:
Когда шарик отпускают, возникает сила упругости, под действием которой шарик устремляется влево. По мере уменьшения расстояния между точкой максимального отклонения и положением равновесия уменьшается и потенциальная энергия. Но в это время увеличивается кинетическая энергия шарика. Когда шарик проходит через положение равновесия в первый раз, его потенциальная энергия становится равной нулю, а кинетическая энергия обретает максимальное значение (скорость в этот момент времени тоже максимальна):
После прохождения точки О расстояние между шариком и положением равновесия снова увеличивается, и потенциальная энергия растет. Кинетическая же энергия при этом уменьшается. А в крайнем положении слева она становится равной нулю, в то время как потенциальная энергия снова примет максимальное значение.
Так как мы условились пренебрегать трением, данную колебательную систему можно считать изолированной. Тогда в ней должен соблюдаться закон сохранения энергии. Согласно ему, полная механическая энергия системы равна:
В действительности свободные колебания всегда затухают, так как в колебательной системе действует сила трения. И часть механической энергии рассеивается в виде тепла. Пример графика затухающих колебаний выглядит следующим образом:
Пример №2. Груз, прикрепленный к пружине, колеблется на горизонтальном гладком стержне. Найдите отношение кинетической энергии груза к его потенциальной энергии системы в момент, когда груз находится в точке, расположенной посередине между крайним положением и положением равновесия.
Так как груз находится посередине между крайним положением и положением равновесия, его координата равна половине амплитуды:
В это время потенциальная энергия груза будет равна:
Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия в это время равна:
Полная механическая энергия системы равна максимальной потенциальной энергии:
Тогда кинетическая энергия равна:
Следовательно, отношение кинетической энергии к потенциальной будет выглядеть так:
Резонанс
Самый простой способ возбуждения незатухающих колебаний состоит в том, что на систему воздействуют внешней периодической силой. Такие колебания называют вынужденными.
Работы силы над такой системой обеспечивает приток энергии к системе извне. Приток энергии не дает колебаниям затухнуть, несмотря на действие сил трения.
Особый интерес вызывают вынужденные колебаний в системе, способной совершать свободные колебания. Примером такой системы служат качели. Их не получится отклонить на большой угол всего лишь одним толчком. Если их толкать то в одну, то в другую сторону, тоже ничего не получится. Но если подталкивать качели всякий раз, как они сравниваются с нами, можно раскачать их очень сильно. При этом не нужно прикладывать большую силу, но на это понадобится время. Причем после каждого такого толчка амплитуда колебаний качелей будет увеличиваться до тех пор, пока не достигнет своего максимального значения. Такое явление называется резонансом.
Резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой свободных колебаний.
Графически явление резонанса можно изобразить как резкий скачок графика вверх (см. рис. выше). Причем высота «зубца», или амплитуда колебаний, будет зависеть от величины сил трения. Чем больше сила трения, тем меньше при резонансе возрастает амплитуда вынужденных колебаний. Это можно продемонстрировать графиками на рисунке ниже. Графику 1 соответствует минимальное трение, графику 3 — максимальное.
На явлении резонанса основан принцип работы частотомера — устройства, предназначенного для измерения частоты переменного тока. Он состоит из набора упругих пластин, которые закреплены на одной планке. Каждая пластина обладает определенной собственной частотой колебаний, которая зависит от упругих свойств, длины и массы. Собственные колебания пластин известны. Под действием электромагнита планка, а вместе с ней и пластины совершают вынужденные колебания. Но лишь та пластина, собственная частота которой совпадает с частотой колебаний планки, будет иметь большую амплитуду колебаний. Таким образом, определяется частота переменного тока.
Пример №3. Автомобиль движется по неровной дороге, на которой расстояние между буграми равно приблизительно 8 м. Период свободных колебаний автомобиля на рессорах 1,5 с. При какой скорости автомобиля его колебания в вертикальной плоскости станут особенно заметными?
Колебания автомобиля в вертикальной плоскости будут заметны тогда, когда частота наезда на бугры сравняется с частотой свободных колебаний автомобиля на рессорах. Поскольку частота обратно пропорциональна периоду, можно сказать, что резонанс будет достигнут тогда, когда автомобиль будет наезжать на бугры каждые 1,5 секунды. Зная расстояние между буграми и время, можем вычислить скорость:
Гармонические колебания
9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Механические колебания
Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.
Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.
Свободные колебания
Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.
Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.
Вынужденные колебания
А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.
Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.
Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.
Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.
Автоколебания
Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.
У автоколебательной системы есть три важных составляющих:
Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.
Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.
Характеристики колебаний
Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение характеризуется величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.
Формула периода колебаний
T = t/N
N — количество колебаний [-]
Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.
Формула частоты
ν = N/t = 1/T
N — количество колебаний [-]
Она используется в уравнении гармонических колебаний:
Гармонические колебания
Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:
Уравнение гармонических колебаний
x — координата в момент времени t [м]
t — момент времени [с]
2πνtв этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ
Фаза колебаний
t — момент времени [с]
Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.
На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.
Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.
На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.
Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.
Математический маятник
Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.
Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.
Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).
Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:
Формула периода колебания математического маятника
g — ускорение свободного падения [м/с^2]
На планете Земля g = 9,8 м/с2
Пружинный маятник
Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.
В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.
