Чем занимается дискретная математика

Основы дискретной математики

Привет, хабр. В преддверии старта базового курса «Математика для Data Science» делимся с вами переводом еще одного полезного материала.

Об этой статье

Эта статья содержит лишь малую часть информации по заявленной теме. Рассматривайте ее как вводный курс перед началом всестороннего изучения предмета. Надеюсь, вы найдете в ней полезную информацию. Знание дискретной математики помогает описывать объекты и задачи в информатике, особенно когда дело касается алгоритмов, языков программирования, баз данных и криптографии. В дальнейшем я планирую подробнее раскрыть темы, затронутые в этой статье. Приятного чтения!

ЧТО ТАКОЕ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА?

Это область математики, изучающая объекты, которые могут принимать только уникальные отдельные значения.

Мы рассмотрим пять основных разделов в следующем порядке.

ЛОГИКА

Что такое логика?

Это наука о корректных рассуждениях. Мы будем использовать приемы идеализации и формализации. Неформальная логика изучает использование аргументов в естественном языке.

Формальная логика анализирует выводы с чисто формальным содержанием. Примерами формальной логики являются символическая логика и силлогистическая логика (о которой писал Аристотель).

Начнем с азов. Рассмотрим следующее высказывание на естественном языке:

«Если я голоден, я ем».

Пусть «голоден» будет посылкой A, а «ем» — следствием B. Попробуем формализовать:

A => B (то есть из A следует B)

NB. Посылка и следствие являются суждениями.

Логические выражения

Для нас важна форма, а НЕ содержание. Значение будет истинным, если оно соответствует форме.

Например, 10 4 — ИСТИНА.

Логические операции

Суждение P — это утверждение, которое может быть как истинным, так и ложным.

Обозначим истинное значение P единицей (1), а ложное значение P нулем (0).

Существует другое суждение; обозначим истинное значение Q единицей (1), а ложное значение Q нулем (0).

Рассмотрим логические операции с суждениями, значение которых истинно. Они могут сами образовывать истинные значения путем выполнения соответствующих операций над истинными значениями.

Источник

Дискретная математика

Дискре́тная матема́тика — область математики, занимающаяся изучением дискретных структур, которые возникают как в пределах самой математики, так и в её приложениях.

К числу таких структур могут быть отнесены конечные группы, конечные графы, а также некоторые математические модели преобразователей информации, конечные автоматы, машины Тьюринга и так далее. Это примеры структур конечного (финитного) характера. Раздел дискретной математики, изучающий их, называется конечной математикой. Иногда само это понятие расширяют до дискретной математики. Помимо указанных конечных структур, дискретная математика изучает некоторые алгебраические системы, бесконечные графы, вычислительные схемы определённого вида, клеточные автоматы и т. д. В качестве синонима иногда употребляется термин «дискретный анализ».

Содержание

Разделы дискретной математики

Примечания

Литература

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Дискретная математика» в других словарях:

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА — то же, что конечная математика … Большой Энциклопедический словарь

дискретная математика — то же, что конечная математика. * * * ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА, то же, что конечная математика (см. КОНЕЧНАЯ МАТЕМАТИКА) … Энциклопедический словарь

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА — конечная математика, раздел математики, занимающийся изучением св в объектов конечного характера. К их числу могут быть отнесены, напр., конечные группы, конечные графы, нек рые матем. модели преобразователей информации. Д. м. теоретич. основа… … Большой энциклопедический политехнический словарь

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА — то же, что конец ноя математика … Естествознание. Энциклопедический словарь

«Дискретная математика» — научный журнал РАН, с 1989, Москва. Учредитель (1998) Отделение математики РАН. 4 номера в год … Энциклопедический словарь

Теория функциональных систем (дискретная математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Теория функциональных систем (значения). Теория функциональных систем раздел дискретной математики, занимающийся изучением функций, описывающих работу дискретных преобразователей. В теории… … Википедия

МАТЕМАТИКА — (греч. mathematike от mathema наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. До нач. 17 в. математика преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах;… … Большой Энциклопедический словарь

Математика — Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля Математика (от др. греч … Википедия

математика — и; ж. [греч. mathēmatikē] 1. Наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Высшая м. Элементарная м. Прикладная м. Законы математики. // Учебный предмет, изучающий эту науку. Экзамен по математике. Преподавать… … Энциклопедический словарь

Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия

Источник

Дискретные структуры: матан для айтишников

Посмотришь на любую программу обучения по IT-специальности, и тут же увидишь дисциплину «Дискретная математика» (возможно, под другим названием), обычно для перво- или второкурсников. И её наличие вполне разумно, поскольку дискретная математика и непрерывная математика (представленная на первом курсе институтов с незапамятных времён математическим анализом) — две грани единой Математики, — красивой, могучей науки.

Хотя раньше такого понятия, как «дискретная математика» вовсе не было, это не значит, что не возникало дискретных задач: Абель, Дирихле, Фибоначчи, Эйлер, чьи имена возникают по ходу изучения дискретной математики, — отнюдь не наши современники! Но просто в те времена для выделения самостоятельной ветви математики ещё не сложилось критической массы задач и приёмов, не было видно взаимосвязей между ними. А большое количество плодотворных взаимосвязей между, на первый взгляд, различными понятиями, — то, что математики в своей науке очень ценят.

Ну хорошо, математикам всё математическое интересно. А зачем дискретная математика программисту?

Зачем это айтишнику

Во-первых, многие идеи, которые особенно ярко иллюстрируются на дискретных задачах, неотъемлемы и для информатики. Взять, хотя бы, фундаментальные понятия рекурсии и индукции.

Рекурсия — это, дословно, возврат, обращение к самому себе. Хорошо известные вездесущие числа Фибоначчи проще всего определяются рекурсивно: первые два числа Фибоначчи равны единице, а каждое следующее число равно сумме двух своих предшественников: 1,1,2,3,5,8,… Таким образом, для вычисления очередного числа мы обращаемся к уже рассчитанным числам такого же вида. Трудно представить, как можно изучить функциональное программирование, да и многое из других областей информатики, не освоившись хорошо с рекурсией. Очень близкий процесс к рекурсии — это индукция, способ доказательства математических утверждений, при котором в доказательстве сложных случаев мы опираемся на более простые. Параллели с рекурсией очевидны, и действительно, обычное дело, когда индуктивное доказательство существования какого-то объекта можно переформулировать в описание рекурсивного способа построения этого объекта.

Раз речь зашла о таких фундаментальных вещах, как индукция и рекурсия, не могу не сказать, что многие приёмы, которые очень хорошо видны на примерах из дискретной математики, эффективны в математике в целом. Это не только индукция, но и принцип Дирихле, принцип выбора по среднему значению и другие.

Следующий элемент, без которого информатику нельзя представить — это графы. Простейшие алгоритмы на графах обязательно входят в любой, даже самый вводный, курс по алгоритмам. Скажем, с понятием гамильтонова цикла связана одна из классических задач информатики, задача коммивояжёра.

Ещё одно архиважное умение — считать точно и оценивать приблизительно количества. Например, как вычислить количество раз, которые выполняется операция сравнения в цикле:

Или вот ещё пример. Нужно из списка из 100 товаров выбрать 20, так, чтобы их суммарная стоимость была ровно 2000 рублей («без сдачи»). Это вариант классической задачи о рюкзаке. Допустим, ваш коллега, подумав ночь, предложил решать задачу перебором: перебрать всевозможные наборы из двадцати товаров, и, как только в ходе перебора возникнет нужный набор, выдать его в качестве ответа. Между прочим, характеристика «переборный» далеко не всегда ставит клеймо на алгоритме. Всё зависит от размера входных данных. Так вот, как прикинуть, удастся ли за разумное время решить перебором эту задачу выбора 20 объектов из 100?

Наконец, для современного «дизайнера алгоритмов» обязателен к пониманию и вероятностный метод. Это общий метод, позволяющей решать многие задачи в современной комбинаторике. Очень часто наилучшие решения задач, известные на сегодняшний день, получены именно этим методом. Для практика же овладение этим методом полезно постольку, поскольку вероятностные алгоритмы прочно заняли место в современной информатике. И при анализе работы таких алгоритмов очень помогает интуиция, развитая в ходе изучения вероятностного метода.

Онлайн-курс «Дискретные структуры»

С верой в то, что перечисленные понятия из дискретной математики действительно не помешают любому программисту, а, скорее, помешает их незнание, я читаю соответствующий курс на факультете ФИВТ МФТИ. А недавно у меня появилась возможность сделать онлайн-курс, чем я с радостью воспользовался. Записаться на него можно по ссылке. Главное, чего я пожелаю всем записавшимся: не побоявшись трудностей, пройти курс до самого конца, и получить заслуженное звание Дипломированного Дискретчика. В общем, чтобы MOOC прошёл без мук и обогатил знаниями! Да и собственная корысть у меня тут тоже есть: чем больше онлайн-учеников у меня будет, тем большему я смогу научиться, читая обсуждения и наблюдая статистику решения задач. Ведь учиться учить тоже никогда не поздно!

Какие знания потребуются

Для прохождения первых двух модулей потребуются только школьные знания. Третий модуль потребует знание основ математического анализа на уровне «что такое предел» и «какая из функций x 20 или 2 x растёт быстрее (чему равны производные функций)». Для последних трёх модулей понадобится представление о том, что такое вероятность, условная вероятность, математическое ожидание, дисперсия. Также хорошо бы знать, что такое базис и размерность линейного пространства. Если с вероятностью и линейной алгеброй вы не знакомы, можно записаться заодно на эти вводные курсы. Тогда как раз, к моменту, когда нам потребуются эти знания, они у вас будут.

Post scriptum

Меня можно было бы упрекнуть в конфликте интересов, всё-таки я математик, и, естественно, хочу приобщить к своей секте как можно больше завсегдатаев Хабра. В своё оправдание могу сослаться на этот ответ на Quora. Под большей частью тем, перечисленных в этом ответе, я готов лично подписаться, в онлайн-курс многие из них вошли. Ещё сошлюсь на подборку мнений яндексоидов.

Источник

Почему школам важно уделять больше времени изучению дискретной математики

Автор материала приводит аргументы в пользу изучения дискретной математики на этапе школьного образования.

Большинство программ по математике [в США] для средних и старших классов следуют четко прописанной схеме:

Предалгебраические задачи → Алгебра 1 → Геометрия → Алгебра 2 → Тригонометрия/начала матанализа → Матанализ

В некоторых других школах предпочтение отдается более комплексному подходу, в рамках которого элементы алгебры, геометрии и тригонометрии подаются смешанно в течение 3-х или 4-х летнего курса. Однако обоим методикам недостает существенного акцента на дискретную математику и такие ее разделы, как комбинаторика, теория вероятности, теория чисел, теория множеств, логика, алгоритмы и теория графов. Дискретная математика очень мало фигурирует в большинстве «критически важных» промежуточных экзаменов средних и старших классов. Аналогично ситуация обстоит и с приемными экзаменами для вузов и колледжей, таких, как SAT. Из-за этого дискретной математике часто уделяется мало внимания.

Тем не менее эта область знаний в последние годы становится все более и более важным направлением. И на то есть целый ряд причин:

Дискретная математика играет существенную роль в изучении математики в колледжах, вузах и более высоких ступенях.

Дискретная математика наряду с численными методами и общей алгеброй входит в список фундаментальные компонентов математики вузовского уровня. Ученики, получившие солидный объем знаний по дискретной математике перед поступлением в колледж, получают существенное преимущество во время дальнейшей учебы.

Дискретная математика — это математика вычислительных процессов.

Все вычисления современной компьютерной науки практически полностью основаны на дискретной математике, и в частности, комбинаторике и теории графов. Это значит, что для изучения фундаментальных алгоритмов, используемых компьютерными программистами, студентам требуется иметь твердые знания в этих областях. Действительно, для получения диплома в области компьютерных наук в большинстве университетов предусмотрен соответствующий обязательный курс по дискретной математике.

Дискретная математика больше всего приближена к задачам реального мира.

Многие учащиеся часто задаются вопросами о том, где в реальной жизни им может пригодится традиционная высшая математика, то есть алгебра, геометрия, тригонометрия и другие ее направления. Часто, глядя на абстрактную природу этих предметов, они теряют к ним интерес. Дискретная математика, и в частности, комбинаторика и теория вероятности, позволяют ученикам даже уровня средней школы очень быстро прийти к изучению интересных и нетривиальных задач, имеющих прямое отношение к задачам реального мира.

Дискретная математика — популярное направление большинства математических соревнований средней и старшей школы.

Видные математические олимпиады вроде MATHCOUNTS (средняя школа) и American Mathematics Competitions (старшие классы) включают значительное количество заданий по дискретной математике. В более сложных соревнования для старшеклассников, таких, как AIME, количество задач увеличивается еще сильнее. Ученики, не имеющие соответствующей базы знаний будут иметь гораздо меньше шансов на успех в таких соревнованиях. Один известный преподаватель, занимающийся подготовкой учеников к MATHCOUNTS, даже уделяет половину времени подготовке к заданиям по комбинаторике и теории вероятности. Настолько он считает их важными.

Дискретная математика развивает логическое мышление и учит техникам доказательства.

Алгебра часто преподается в виде совокупности формул и алгоритмов, которые ученики должны запомнить. Например, формула корней квадратного уравнения, или решение систем линейных уравнений путем замены. Геометрия часто преподается как серия упражнений, доказывающих теоремы и объясняющих их суть, которые нередко предлагается заучить наизусть. Несмотря на несомненную важность изучения подобного материала, в целом он не очень хорошо способствует развитию творческого математического мышления учеников. В противовес этому, изучающие дискретную математику дети учатся мыслить гибко и творчески уже с самого начала. Количество формул, которые требуется знать наизусть, относительно невелико. В этой области знаний акцент делается скорее на потребность изучить некоторое количество фундаментальных понятий, которые впоследствие можно применять совершенно по-разному.

Дискретная математика — это весело.

Многие студенты, особенно одаренные и мотивированные находят алгебру, геометрию и даже методы матанализа скучными, не вызывающими живого интереса. Что же касается дискретной математики, то в ней такие темы встречаются редко. Когда мы интересуемся у учащихся их любимыми темами, большинство называет комбинаторику или теорию чисел. Самой непопулярной темой при этом оказывается геометрия. Иными словами, большинство студентов находят дискретную математику более интересной, чем алгебра или геометрия.

Исходя из всех этих аргументов, мы настоятельно рекомендуем строить программу так, чтобы после изучения геометрии, школы уделяли некоторое время ознакомлению учеников с элементарными идеями дискретной математики, и в частности, комбинаторики, теории вероятности и теории чисел.

Источник

Дискретная математика

Вы будете перенаправлены на Автор24

Понятие дискретной математики

В понятие «дискретная математика» объединены все разделы математики, которые основаны на дискретных структурах. Между ними существуют определенные взаимосвязи, которые зачастую ссылаются друг на друга, но в общей совокупности они составляют единую теорию, к которой относится и вся математика в целом. Однако, дискретная математика строится на самостоятельных теориях и направлениях.

Дискретная математика – это часть математики, которая построена на исследовании дискретных математических структур, к которым относятся графы и утверждения в логике.

Дискретная математика, в контексте математики как науки, отождествляется с конечной математикой (направлением, основой знаний которой является исследование конечных структур – конечных графов, конечных автоматов, конечных групп). Конечность определяет некоторые особенности, которые не характерны разделам, изучающим бесконечные и непрерывные структуры (например, для дискретных направлений характерен более широкой круг решаемых задач, потому как во многих случаях возможен перебор различных вариантов, при том, как в изучении бесконечных и непрерывных структур характерны существенные ограничения для решения задач).

В дискретной математике большое значение уделено построению определенных алгоритмов, в том числе, эффективных с точки зрения вычислений и их сложности. Еще одной отличительной особенностью дискретной математики является невозможность использования ее техник анализа при решении экстремальных задач, потому как используются недоступные для дискретных структур понятия гладкости.

Дискретная математика рассматривается как совокупность разделов, которые связаны с информатикой и вычислительной техникой, в частности, к ним относятся: теория графов, теория функциональных систем, теория автоматов, комбинаторика и теория кодирования, целочисленное программирование.

История развития

С давних времен дискретные системы применялись в вычислительной практике. В древности были широко известны различные системы счисления и связанные с ними алгоритмы выполнения различных арифметических операций, решения уравнений и пр. Распространение получили различные дискретные инструменты: различные виды счетных досок, абак.

Готовые работы на аналогичную тему

Дискретная математика развивалась параллельно с другими разделами математики, являясь составной частью единого целого.

Примерами дискретных математических объектов являются:

Дискретный объект с позиции его содержания обычно состоит из отдельно взятых элементов, отделенных друг от друга неделимых частей. Объекты рассматривают как дискретные, если по определенным причинам отвлекаются от присущих им свойств непрерывности.

Разделение математики на «дискретную» и «непрерывную» условно, потому как математика представляет собой единую систему, пронизанную аналогиями. В ее разделах развиваются различные сходные конструкции и идеи, то есть происходит обмен идеями и методами, также зачастую возникает необходимость в исследовании моделей, которые обладают как дискретными, так и непрерывными функциями.

В широком смысле дискретная математика включает в себя такие разделы математики как: теория чисел, теория множеств, алгебра, математическая логика и прочие.

Узконаправленно дискретная математика формирует ряд специализированных разделов и новые разделы, которые интенсивно развиваются с середины прошлого века, что обусловлено новыми изобретениями и их внедрением с применение вычислительной техники и цифровых технологий (теория функциональных систем, теория сетей и графов, теория алгоритмов и автоматов, комбинаторный анализ, теория кодирования, теория синтеза управляющих систем, дискретная геометрия и пр.).

Этапы развития дискретной математики связаны с исследованиями Л. Эйлера (XVII в.), который ввел комбинаторный анализ и теорию графов, и Я. Бернулли, разработавшем комбинаторную теорию вероятностей. Большой вклад в идеологию дискретной математики вложили Г.В. Лейбниц, Ж.Л. Лагранж, А. Кэли, Дж. Буль, Ж. Жордан и прочие.

Источник