Формула тейлора для чего нужна

Формула Тейлора и ее применение с примерами решения

Содержание:

Формула Тейлора и ее применение

Формула Тейлора

Теорема: Если функция

Эта формула была получена в 1715 г. Бруком Тейлором, который был учеником Исаака Ньютона, и носит его имя. Последнее слагаемое в формуле Тейлора называется остаточным членом, вид которого установил Лагранж: величина

В этой формуле неизвестной является только величина причем в указанном интервале согласно теореме Лагранжа такая точка всегда присутствует, хотя бы в единственном числе. Если зафиксировать начало интервала, а его конец считать переменной величиной, то формула Тейлора принимает вид:

При a = 0 формула Тейлора переходит в формулу Маклoрена:

Пример:

Представить по формуле Маклорена функцию ограничившись n=2.

Решение:

Вычислим три первых производных заданной функции:

При х = 0 получим Остаточный член имеет вид Следовательно, при n = 2 заданная функция по формуле Маклорена имеет вид: Отметим, что полученное выражение справедливо при Решим найденное равенство относительно величины Отсюда получаем Следовательно, Так как выражение под радикалом 4-ой степени должно быть неотрицательным и Таким образом, из двух корней теореме Тейлора удовлетворяет только корень который действительно лежит между нулем и х.

Замечание: При n = 0 формула Тейлора дает формулу конечных приращений:

(см. теорему Лагранжа ТЗ Лекции №18). При n = 1 получаем Если положить то получим формулу

Применение формулы Тейлора

Если известны величины то формула Тейлора позволяет вычислить значение функции в некоторой точке х. В зависимости от требуемой степени точности вычислений достаточно бывает вычислить два, три или несколько первых слагаемых в формуле Тейлора. Для оценки погрешности вычислений необходимо помнить, что величина в остаточном члене в форме Лагранжа лежит в пределах от а до х.

Пример:

Представить функцию по формуле Маклорена.

Решение:

Так как Следовательно, где Отсюда следует,

Пример:

Вычислить с точностью

Решение:

Так как основание Следовательно, при х = 1/2 остаточный член равен При n = 3: остаточный член Следовательно, удерживая пять первых слагаемых в формуле Маклорена, получим с требуемой точностью, что

Пример:

Вычислить число е с точностью

Решение:

Согласно результатам, полученным в предыдущем примере, для достижения требуемой точности, подсчитаем остаточный член формулы Маклорена в форме Лагранжа

При n = 6 имеем

при n = 7 получаем

Итак,

Если вычислять значение числа е с точностью то потребуется взять 13 первых слагаемых, при этом Аналогично формула Маклорена-Тейлора применяется для вычисления и других функций. Например, для вычисления натуральных логарифмов используется формула:причем

Пример:

Вычислить с точностью

Решение:

Формула тейлора

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке . Тогда (см. формулу (9.5)) ее приращение

Пусть тогда (14.1) перепишется в виде
Рассмотрим многочлен
Многочлен обладает следующими свойствами:

Пусть функция y=f(x) n раз дифференцируема в точке . Найдем многочлен

обладающий аналогичными свойствами:

Из (14.2), (14.3) следует, что

Поэтому коэффициенты многочлена (14.2) задаются формулой

Далее

Таким образом свойства (14.3) выполняются (при этом коэффициенты
многочлена задаются формулами (14.4)). Тем самым теорема доказана.
Теорема 14.1. Пусть функция y=f(x) n раз дифференцируема в точке , тогда

где – бесконечно малая функция более высокого порядка
малости, чем
Формула (14.5) называется формулой Тейлора, многочлен

в правой части формулы (14.5) называется многочленом Тейлора, а представление разности в виде – остаточным членом в форме Пеано.
Если функция то (14.5) перепишется в виде

формула Маклорена.
Если функция раз дифференцируема в некоторой окрестности
точки , то остаточный член можно представить в виде
остаточный член в форме Лагранжа и формула

называется формулой Тейлора порядка n с остаточным членом в форме
Лагранжа.

Пример 14.1
В условиях примера 9.4 оценим погрешность вычисления значений
Решение
Запишем формулу Маклорена первого порядка с остаточным членом в форме Лагранжа:

Поэтому

Таким образом, вычисленное значение 3,(1) отличается от истинного с точностью до 0,01.

Пример 14.2
Запишем формулу Маклорена n-го порядка для функции y=sin x:

(см. упражнение 10.1)

Таким образом, и по формуле (14.6)

Аналогично

Формулы (14.7)–(14.11) называются основными разложениями.

Пример 14.3
Разложить по формуле Маклорена до члена используя основные разложения. Оценить погрешность при
Решение
Пусть Тогда (см. формулу (14.10))

Остаточный член запишем в форме Лагранжа:

поэтому
Таким образом, и погрешность при меньше чем

Пример 14.4
Найти
Решение
Воспользуемся разложением (14.7):

Тогда

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Краткое описание

Существует теория приближения функций, которая на практике является неотъемлемым элементом математики. Для подробного изучения этой темы крайне важно понимать, что под приближением функции подразумевают замену по действующим нормам одной функции другой, которая максимально приближена к исходным данным в том или ином смысле. Необходимость выполнять перечисленные действия возникает в том случае, когда конкретную функцию нужно заменить на более простую и понятную для всех дальнейших математических расчётов.

Применение формулы Тейлора в онлайн-режиме пользуется большим спросом, так как в этом случае можно избежать грубых ошибок. Это математическое направление активно используется для поэтапного разложения функций в степенной ряд Фурье. Но некоторые трудности могут возникнуть на этапе вычисления интегралов. Существенно упростить поставленную задачу позволяет только замена данных степенным рядом.

Правильное нахождение показателей стандартных и обратных тригонометрических, а также логарифмических функций может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов. Классический метод решения поставленных задач подразумевает предварительное изучение всех правил и математических примеров.

Ключевые особенности

Элементарная функция d (x) обладает всеми необходимыми производными до n+1. Если функцию или корень квадратный можно разложить в ряд Тейлора в некоторой нулевой точке, то предварительно нужно удостовериться в том, что функция является аналитической в конкретной точке. В противном случае получится самый обычный ряд, который не равен своей функции. Ряд Тейлора можно с уверенностью назвать степенным рядом, так как он имеет в качестве области сходимости круг для случая комплексной переменной, а также обычный интервал для вещественной переменной.

Используемые сегодня математические формулы являются плодом многолетних трудов учёного, а вот современным людям остаётся только отыскать в многочисленных комбинациях ту, которая максимально подойдёт для конкретной ситуации. Математика считается той наукой, которая кажется незаметной, но она сопровождает человека в течение всей его жизни. В процессе естественной эволюции формула Маклорена (Тейлора) была подвержена незначительным изменениям, а связано это с изменением понимания назначения самой формулы.

В четырёхзначных таблицах Брадиса для существующего синуса этого угла указано значение 0,3420. Большим спросом также пользуется расширенный список эквивалентности элементарных функций. На элементарном графике можно отобразить изменение значений разложения в ряд (в зависимости от реального количества членов разложения). Если ограничится только тремя членами разложения, то в итоге будет достигнуто значение 0,0002.

Аналогичность функций

Основные примеры формулы Тейлора позволяют учащимся разобраться во всех нюансах, без которых правильно решить задачу просто невозможно. Стоит представить некоторую функцию h (x), которую нужно правильно разложить в ряд х = b. Нужно убедиться, что функция является аналитической. На примере функции Коши можно увидеть, что любая функция может быть дифференцируемой в точке b неограниченное количество раз. Ряд Тейлора с параметром b может быть сходящимся, но при этом итог часто не соответствует своей функции.

Обязательным условием аналитичности функции всегда считается сходимость ряда Тейлора в определённой непрерывной области. Если ряд сходится исключительно в одной точке, то она будет равна формуле х = b. Но в такой ситуации сформированный ряд будет соответствовать функции h (x) только в конкретной точке. Полученный результат будет служить подтверждением того, что функция не будет аналитической.

Экспертами доказано, что в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена абсолютно любая функция, которая в окрестности точки b до бесконечности дифференцируется. Если был задан предел для каждой из двух существующих последовательностей, то итоговый результат будет равен сумме этих же пределов.

Ряд Тейлора сходится по всей оси х для любых параметров b. При помощи математических приёмов ученику необходимо доказать аналитичность функции во всех точках b. Последние символы указывают на некоторое число, которое заключено между x и b. После всех выполненных манипуляций можно получить правильный результат.

Если всё проанализировать, то в итоге можно определить, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена определённым числом М. А вот предел остаточного члена равен нулю для имеющихся x и b.

Практическое применение

Универсальная формула Тейлора для функции нескольких переменных активно используется в математике. Талантливыми учёными было доказано, что для элементарной программы можно ограничиться шестью либо семью членами ряда для числа p в степени x, а также пятью членами ряда для логарифма натурального типа. Специалистам отлично известна связь формулы с десятичным логарифмом. Самостоятельное написание программы для вычисления десятичных логарифмов гораздо упрощается. Благодаря такому подходу можно в автоматическом режиме высчитать значение натурального логарифма, а потом получить достоверный результат в десятичном виде.

Многогранность формулы Тейлора для косинусов позволяет правильно разработать логическую структуру программы. Вложенные циклы используются для большей наглядности, что существенно упрощает эксплуатацию. Программа построена таким образом, что пользователю необходимо ввести только правильный номер требуемой функции и аргумент x для конкретной функции.

На финальном этапе разработки универсальной программы происходит перевод результатов из экспоненциальной формы конкретного числа в наиболее привычную форму вещественного числа. Но даже в этом случае действуют свои правила. Программа имеет определённые ограничения в использовании, так как реальное значение функции и полученное автоматическим путём значение не сходится.

Даже самое тщательное разложение по формуле талантливого Тейлора с ограниченным рядом членов в итоге даёт минимальные погрешности при малых значениях аргумента. Для расширения возможностей программы следует существенно увеличить длину ряда. Аналогичный подход можно встретить в инновационных калькуляторах и ЭВМ. Большим спросом пользуется табличное разложение обычного тангенса и арктангенса.

Основные примеры

Элементарное доказательство формулы Тейлора позволяет решать даже самые сложные математические задачи. Достижения талантливого учёного используются при аппроксимации функции элементарными многочленами. Даже линеаризация уравнений может быть осуществлена путём разложения в ряд и последующего отсечения абсолютно всех существующих членов первого порядка. Изучаемая формула также активно используется при математическом доказательстве большого количества теорем в своеобразном дифференциальном исчислении.

В качестве примера следует разложить в ряд следующую функцию: l (x)=1​/x. Следует учесть, что в окрестности точки x 0 приравнивается к единице. Для решения задачи следует задействовать замену:

Полученный результат лучшим образом демонстрирует разложение по степеням двучлена (х-1).

Если выполнить замену переменной, то в итоге можно получить следующий результат:

На финальном этапе остаётся только выполнить обратную замену переменной. Правильное решение поставленной задачи выглядит следующим образом: d (x)=(x+1) 3 −(x+1) 5 /2​+(x+1) 7 /6​+o ((x+1) 7 ).

Интересные факты

Тейлор Брук был талантливым английским математиком, членом почётного Лондонского королевского общества. Благодаря своей целеустремлённости он получил общую формулу разложения функций в своеобразный степенной ряд. Тейлор также положил начало математическому изучению задачи о колебаниях струны. Этот математик является автором работ о полёте снарядов, тесном взаимодействии магнитов, центров качания. До своих последних дней Тейлор Брук усердно занимался изучением философских вопросов.

Но многие математики руководствовались исключительно своим опытом, из-за чего у них было большое сомнение по поводу того, что абсолютно любая непрерывная функция распадается в бесконечный ряд. Только в XIX веке Коши смог дать действительно интересный пример функции. Благодаря этому многие вспомнили, что именно Тейлор впервые разработал универсальные основы нормирования труда, а также смог внедрить в практику научные подходы к подбору квалифицированного персонала. Система Тейлора заложила основы научной организации труда через создание формул и законов.

Если применить все полученные знания на практике, то в итоге можно составить многофункциональную программу «Pascal». За счёт чего у пользователей появится возможность вычислять значения в конкретной степени натурального логарифма, а также десятичного логарифма с минимальными расхождениями от реальных показателей.

Источник