Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Вероятность гипотез, формула Бейеса

Вы будете перенаправлены на Автор24

Теорема Байеса

Вероятность гипотезы при условии, что событие А произошло, равна произведению вероятности этой гипотезы на соответствующую ей условную вероятность события А, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность события А.

Согласно теореме умножения для двух событий

$$P(AH_i)=P(A) \cdot P (H_i/A)=P(H_i) \cdot P(A/H_i)$$

которая носит название формулы Байеса. Теорема доказана.

Использование формулы Байеса при решении задач

Найдем вероятность этих гипотез:

Найдем условные вероятности события А при этих гипотезах:

\[P\left(H_ <3>/A \right)=\frac\right)\cdot P\left(A/H_ <3>\right)>\right)\cdot P\left(A/H_ <3>\right)+P\left(H_ <4>\right)\cdot P\left(A/H_ <4>\right)> =\frac<0,28\cdot 1> <0,28+0,18>\approx 0,61;\]

Следовательно, вероятность того, что объект поражен первым стрелком, равна 0,61.

Готовые работы на аналогичную тему

Пользуясь формулой Бейеса и подставив заданные значения вероятностей, получаем:

Найдем условные вероятности события А при наших гипотезах. Получим:

$$P(А /H_1)=0,8; P(А /H_2)=0,5; P(А /H_3)=0,2.$$

Вероятность события А посчитаем за формулой полной вероятности и получим:

\[P(A)=\sum \limits _^<3>P(H_ )\cdot P(A/H_ )=0,2\cdot 0,8+0,3\cdot 0,5+0,5\cdot 0,2=0,41.\]

Тогда по формуле полной вероятности:

\[P(A)=\sum \limits _^<3>P(H_ )\cdot P(A/H_ )=0,4\cdot 0,9+0,35\cdot 0,8+0,25\cdot 0,7=0,815.\]

По формуле Байеса найдем:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 25 12 2021

Источник

Учебник по теории вероятностей

1.6. Формула полной вероятности и формула Байеса

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а, вероятности появления которых Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а, которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.

По теореме умножения вероятностей

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а,

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.

Аналогично, для остальных гипотез

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Полученная формула называется формулой Байеса ( формулой Бейеса). Вероятности гипотез Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие аназываются апостериорными вероятностями, тогда как Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а— априорными вероятностями.

Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие аобозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Решение. Возможны три гипотезы:

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а— на линию огня вызван первый стрелок,

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а— на линию огня вызван второй стрелок,

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а— на линию огня вызван третий стрелок.

Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

по формуле Байеса находим вероятность гипотезы Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие апосле опыта:

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Пример. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго.

а) Каков процент брака на конвейере?

б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?

Решение. Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– взятая наудачу деталь обработана на Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а-ом станке, Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.

Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Зависимости между производительностями станков означают следующее:

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.

А так как гипотезы образуют полную группу, то Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.

Решив полученную систему уравнений, найдем: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.

а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная:

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.

Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.

б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а,

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а,

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.

Таким образом, в общей массе бракованных деталей на конвейере доля первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.

Видео-уроки на тему полной вероятности и формулы Байеса

В первом уроке вы можете посмотреть подробный вывод с доказательством формулы Бейеса (любителям теории):

А здесь будут разобраны несколько типовых задач и на формулу полной вероятности, и на формулу Байеса:

Источник

Понимаем теорему Байеса

Перевод статьи подготовлен специально для студентов базового и продвинутого курсов «Математика для Data Science».

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Теорема Байеса – одна из самых известных теорем в статистике и теории вероятности. Даже если вы не работаете с расчетами количественных показателей, вероятно, вам в какой-то момент пришлось познакомиться с этой теоремой во время подготовки к экзамену.

Вот так она выглядит, но что это значит и как работает? Сегодня мы это узнаем и углубимся в теорему Байеса.

Основания для подтверждения наших суждений

В чем вообще заключается смысл теории вероятности и статистики? Одно из наиболее важных применений относится к принятию решений в условиях неопределенности. Когда вы принимаете решение совершить какое-либо действие (если, конечно, вы человек разумный), вы делаете ставку на то, что после завершения этого действия оно повлечет за собой результат лучший, чем если бы этого действия не произошло… Но ставки – это вещь ненадежная, как же вы в конечном итоге принимаете решение делать ли тот или иной шаг или нет?

Так или иначе вы оцениваете вероятность успешного исхода, и, если эта вероятность выше определенного порогового значения, вы предпринимаете шаг.

Таким образом, возможность точно оценить вероятность успеха имеет решающее значение для принятия правильных решений. Несмотря на то, что случайность всегда будет играть определенную роль в конечном исходе, вам следует учиться правильно использовать эти случайности и оборачивать их в свою пользу с течением времени.

Именно здесь вступает в силу теорема Байеса – она дает нам количественную основу для сохранения нашей веры в исход действия по мере изменений окружающих факторов, что, в свою очередь, позволяет нам со временем совершенствовать процесс принятия решений.

Разберем формулу

Давайте еще раз посмотрим на формулу:

P(A|B) – это пример апостериорной (условной) вероятности, то есть такой, которая измеряет вероятность какого-то определенного состояния окружающего мира (а именно состояния, при котором произошло событие В). Тогда как P(A) – это пример априорная вероятности, которая может быть измерена при любом состоянии окружающего мира.

Давайте посмотрим на теорему Байеса в действии на примере. Предположим, что недавно вы закончили курс по анализу данных от bootcamp. Вы еще не получили ответа от некоторых компаний, в которых вы проходили собеседование, и начинаете волноваться. Итак, вы хотите рассчитать вероятность того, что конкретная компания сделает вам предложение об устройстве на работу, при условии, что уже прошло три дня, а они вам так и не перезвонили.

Перепишем формулу в терминах нашего примера. В данном случае, исход А (Offer) – это получения предложения о работе, а исход В (NoCall) – «отсутствие телефонного звонка в течение трех дней». Исходя из этого, нашу формулу можно переписать так:

Значение P(Offer|NoCall) — это вероятность получения предложения при условии, что звонка нет в течение трех дней. Эту вероятность оценить крайне сложно.

Однако обратной вероятности, P(NoCall|Offer), то есть отсутствию телефонного звонка в течение трех дней, при учете, что в итоге вы получили предложение о работе от компании, вполне можно привязать какое-то значение. Из разговоров с друзьями, рекрутерами и консультантами вы узнаете, что эта вероятность небольшая, но иногда компания все же может сохранять тишину в течение трех дней, если она все еще планирует пригласить вас на работу. Итак, вы оцениваете:

40% — это неплохо и кажется, еще есть надежда! Но мы еще не закончили. Теперь нам нужно оценить P(Offer), вероятность выхода на работу. Все знают, что поиск работы – это долгий и трудный процесс, и возможно вам придется проходить собеседование несколько раз, прежде чем вы получите это предложение, поэтому вы оцениваете:

Теперь нам осталось оценить P(NoCall), вероятность, что вы не получите звонок от компании в течение трех дней. Существует множество причин, по которым вам могут не перезвонить в течение трех дней – они могут отклонить вашу кандидатуру или до сих пор проводить собеседования с другими кандидатами, или рекрутер просто заболел и поэтому не звонит. Что ж, есть множество причин, по которым вам могли не позвонить, так что эту вероятность вы оцениваете как:

А теперь собрав это все вместе, мы можем рассчитать P(Offer|NoCall):

Это довольно мало, так что, к сожалению, рациональнее оставить надежду на эту компанию (и продолжать отправлять резюме в другие). Если это все еще кажется немного абстрактным, не переживайте. Я чувствовал то же самое, когда впервые узнал про теорему Байеса. Теперь давайте разберемся, как мы пришли к этим 8,9% (имейте в виду, что ваша изначальная оценка в 20% уже была низкой).

Интуиция, стоящая за формулой

Помните, мы говорили о том, что теорема Байеса дает основания для подтверждения наших суждений? Так откуда же они берутся? Они берутся из априорной вероятности P(A), которая в нашем примере зовется P(Offer), по сути, это и есть наше изначальное суждение том, насколько вероятно, что человек получит предложение о работе. В нашем примере вы можете считать, что априорная вероятность – это вероятность того, что вы получите предложение о работе в тот же момент, когда покинете собеседование.

Появляется новая информация – прошло 3 дня, а компания вам так и не перезвонила. Таким образом мы используем другие части уравнения, чтобы скорректировать нашу априорную вероятность нового события.

Давайте рассмотрим вероятность P(B|A), которая в нашем примере называется P(NoCall|Offer). Когда вы впервые видите теорему Байеса, вы задаетесь вопросом: Как понять откуда взять вероятность P(B|A)? Если я не знаю, чему равна вероятность P(A|B), то каким магическом образом я должен узнать, чему равна вероятность P(B|A)? Я вспоминаю фразу, которую однажды сказал Чарльз Мангер:

«Переворачивайте, всегда переворачивайте!»
Чарльз Мангер

Он имел в виду, что, когда вы пытаетесь решить сложную задачу, ее нужно перевернуть с ног на голову и посмотреть на нее под других углом. Именно это и делает теорема Байеса. Давайте переформулируем теорему Байеса в терминах статистики, чтобы сделать ее более понятной (об это я узнал отсюда):

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Для меня, например, такая запись выглядит понятнее. У нас есть априорная гипотеза (Hypothesis) — о том, что мы получили работу, и наблюдаемые факты — доказательства (Evidence) – телефонного звонка нет в течение трех дней. Теперь мы хотим узнать вероятность того, что наша гипотеза верна, с учетом предоставленных фактов. Как бы решили выше, у нас есть вероятность P(A) = 20%.

Время переворачивать все с ног на голову! Мы используем P(Evidence|Hypothesis), чтобы посмотреть на задачу с другой стороны и спрашиваем: «Какова вероятность наступления этих событий-доказательств в мире, где наша гипотеза верна?». Итак, если вернуться к нашему примеру, мы хотим знать, насколько вероятно, что, если нам не звонят в течение трех дней, нас все равно возьмут на работу. В изображении выше я пометил P(Evidence|Hypothesis), как “scaler” (скейлер), потому что это слово хорошо отражает суть значения. Когда мы умножаем его на априорное значение, он уменьшает или увеличивает вероятность события, в зависимости от того «вредит» ли какое-либо событие-доказательство нашей гипотезе. В нашем случае, чем больше дней проходит без звонка, тем меньше вероятность того, что нас позовут на работу. 3 дня тишины – это уже плохо (они сокращают нашу априорную вероятность на 60%), тогда как 20 дней без звонка полностью уничтожат надежду на получение работы. Таким образом, чем больше накапливается событий-доказательств (больше дней проходит без телефонного звонка), тем быстрее скейлер уменьшает вероятность. Скейлер – это механизм, который теорема Байеса использует для корректировки наших суждений.

Есть одна вещь, с которой я боролся в оригинальной версии этой статьи. Это была формулировка того, почему P(Evidence|Hypothesis) легче оценить, чем P(Hypothesis|Evidence). Причина этого заключается в том, что P(Evidence|Hypothesis) – это гораздо более ограниченная область суждений о мире. Сужая область, мы упрощаем задачу. Можно провести аналогию с огнем и дымом, где огонь – это наша гипотеза, а наблюдение дыма – событие, доказывающее наличие огня. P(огонь|дым) оценить сложнее, поскольку много чего может вызвать дым – выхлопные газы автомобилей, фабрики, человек, который жарит гамбургеры на углях. При этом P(дым|огонь) оценить проще, поскольку в мире, где есть огонь, почти наверняка будет и дым.

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а
Значение вероятности уменьшается по мере того, сколько проходит дней без звонка.

Последняя часть формулы, P(B) или же P(Evidence) – это нормализатор. Как следует из названия, его цель – нормализовать произведение априорной вероятности и скейлера. Если бы у на не было нормализатора, мы бы имели следующее выражение:

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Заметим, что произведение априорной вероятности и скейлера равно совместной вероятности. И поскольку одно из составляющих в нем P(Evidence), то на совместную вероятность повлияла бы маленькая частота событий.

Это проблема, поскольку совместная вероятность – это значение, включающее в себя все состояния мира. Но нам то не нужны все состояния, нам нужны только те состояния, которые были подтверждены событиями-доказательствами. Другими словами, мы живем в мире, где события – доказательства уже произошли, и их количество уже не имеет значения (поэтому мы не хотим, чтобы они влияли на наши расчеты в принципе). Деление произведения априорной вероятности и скейлера на P(Evidence) меняет его с совместной вероятности на условную(апостериорную). Условная вероятность учитывает только те состояния мира, в которых произошло событие-доказательство, именно этого мы и добиваемся.

Еще одна точка зрения, с которой можно взглянуть на то, почему мы делим скейлер на нормализатор, заключается в том, что они отвечают на два важных вопроса – и их отношение объединяет эту информацию. Давайте возьмем пример из моей недавней статьи про Байеса. Предположим, мы пытаемся выяснить, является ли наблюдаемое животное кошкой, основываясь на единственном признаке – ловкости. Все, что мы знаем, так это то, что животное, о котором мы говорим, проворное.

Подведем итог

Теперь, когда мы знаем, как трактовать каждую часть формулы, мы можем наконец собрать все воедино и посмотреть на то, что получилось:

Источник

Формула полной вероятности и формулы Байеса

На данном уроке мы рассмотрим важное следствие теорем сложения и умножения вероятностей и научимся решать типовые задачи по теме. Читателям, которые ознакомились со статьёй о зависимых событиях, будет проще, поскольку в ней мы уже по факту начали использовать формулу полной вероятности. Если Вы зашли с поисковика и/или неважно разбираетесь в теории вероятностей (ссылка на 1-й урок курса), то сначала рекомендую посетить указанные страницы.

Собственно, продолжаем. Рассмотрим зависимое событие Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а, которое может произойти лишь в результате осуществления одной из несовместных гипотез Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а, которые образуют полную группу. Пусть известны их вероятности Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие аи соответствующие условные вероятности Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Тогда вероятность наступления события Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие аравна:

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Эта формула получила название формулы полной вероятности. В учебниках она формулируется теоремой, доказательство которой элементарно: согласно алгебре событий, Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а(произошло событие Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие аи после него наступило событие Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие аили произошло событие Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие аи после него наступило событие Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие аили произошло событие Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие аи после него наступило событие Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие аили …. или произошло событие Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие аи после него наступило событие Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а). Поскольку гипотезы Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие анесовместны, а событие Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– зависимо, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий (первый шаг) и теореме умножения вероятностей зависимых событий (второй шаг):

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Наверное, многие предчувствуют содержание первого примера =)

Куда ни плюнь – везде урна:

Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых и 7 черных шаров, во второй – только белые и в третьей – только черные шары. Наудачу выбирается одна урна и из неё наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что этот шар чёрный?

Решение: рассмотрим событие Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– из наугад выбранной урны будет извлечён чёрный шар. Данное событие может произойти или не произойти в результате осуществления одной из следующих гипотез:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– будет выбрана 1-я урна;
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– будет выбрана 2-я урна;
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– будет выбрана 3-я урна.

Так как урна выбирается наугад, то выбор любой из трёх урн равновозможен, следовательно:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Обратите внимание, что перечисленные гипотезы образуют полную группу событий, то есть, по условию чёрный шар может появиться только из этих урн, а например, не прилететь с бильярдного стола. Проведём простую промежуточную проверку:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а, ОК, едем дальше:

В первой урне 4 белых + 7 черных = 11 шаров, по классическому определению:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность извлечения чёрного шара при условии, что будет выбрана 1-я урна.

Во второй урне только белые шары, поэтому в случае её выбора появление чёрного шара становится невозможным: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.

И, наконец, в третьей урне одни чёрные шары, а значит, соответствующая условная вероятность извлечения чёрного шара составит Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а(событие достоверно).

По формуле полной вероятности:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что из наугад выбранной урны будет извлечен чёрный шар.

Ответ: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Разобранный пример снова наводит на мысль о том, как важно ВНИКАТЬ В УСЛОВИЕ. Возьмём те же задачи с урнами и шарами – при их внешней схожести способы решения могут быть совершенно разными: где-то требуется применить только классическое определение вероятности, где-то события независимы, где-то зависимы, а где-то речь о гипотезах. При этом не существует чёткого формального критерия для выбора пути решения – над ним почти всегда нужно думать. Как повысить свою квалификацию? Решаем, решаем и ещё раз решаем!

В тире имеются 5 различных по точности боя винтовок. Вероятности попада­ния в мишень для данного стрелка соответственно равны 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 и 0,4. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из слу­чайно выбранной винтовки?

Краткое решение и ответ в конце урока.

В большинстве тематических задач гипотезы, конечно же, не равновероятны:

В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок производит один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Решение: в этой задаче количество винтовок точно такое же, как и в предыдущей, но вот гипотезы всего две:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– стрелок выберет винтовку с оптическим прицелом;
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– стрелок выберет винтовку без оптического прицела.
По классическому определению вероятности: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.
Контроль: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Рассмотрим событие: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– стрелок поразит мишень из наугад взятой винтовки.
По условию: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.

По формуле полной вероятности:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Ответ: 0,85

На практике вполне допустим укороченный способ оформления задачи, который вам тоже хорошо знаком:

Решение: по классическому определению: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятности выбора винтовки с оптическим и без оптического прицела соответственно.

По условию, Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятности попадания в мишень из соответствующих типов винтовок.

По формуле полной вероятности:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что стрелок поразит мишень из наугад выбранной винтовки.

Ответ: 0,85

Следующая задача для самостоятельного решения:

Двигатель работает в трёх режимах: нормальном, форсированном и на холостом ходу. В режиме холостого хода вероятность его выхода из строя равна 0,05, при нормальном режиме работы – 0,1, а при форсированном – 0,7. 70% времени двигатель работает в нормальном режиме, а 20% – в форсированном. Какова вероятность выхода из строя двигателя во время работы?

На всякий случай напомню – чтобы получить значения вероятностей проценты нужно разделить на 100. Будьте очень внимательны! По моим наблюдениям, условия задач на формулу полной вероятности частенько пытаются подзапутать; и я специально подобрал такой пример. Скажу по секрету – сам чуть не запутался =)

Решение в конце урока (оформлено коротким способом)

Задачи на формулы Байеса

Материал тесно связан с содержанием предыдущего параграфа. Пусть событие Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие анаступило в результате осуществления одной из гипотез Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Как определить вероятность того, что имела место та или иная гипотеза?

При условии, что событие Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие ауже произошло, вероятности гипотез переоцениваются по формулам, которые получили фамилию английского священника Томаса Байеса:

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что имела место гипотеза Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а;
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что имела место гипотеза Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а;
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что имела место гипотеза Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а;

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что имела место гипотеза Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.

На первый взгляд кажется полной нелепицей – зачем пересчитывать вероятности гипотез, если они и так известны? Но на самом деле разница есть:

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– это априорные (оцененные до испытания) вероятности.

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– это апостериорные (оцененные после испытания) вероятности тех же гипотез, пересчитанные в связи «со вновь открывшимися обстоятельствами » – с учётом того факта, что событие Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие адостоверно произошло.

Рассмотрим это различие на конкретном примере:

На склад поступило 2 партии изделий: первая – 4000 штук, вторая – 6000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии составляет 20%, а во второй – 10%. Наудачу взятое со склада изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно: а) из первой партии, б) из второй партии.

Первая часть решения состоит в использовании формулы полной вероятности. Иными словами, вычисления проводятся в предположении, что испытание ещё не произведено и событие «изделие оказалось стандартным» пока не наступило.

Рассмотрим две гипотезы:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– наудачу взятое изделие будет из 1-й партии;
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– наудачу взятое изделие будет из 2-й партии.

Всего: 4000 + 6000 = 10000 изделий на складе. По классическому определению:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.

Контроль: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Рассмотрим зависимое событие: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– наудачу взятое со склада изделие будет стандартным.

В первой партии 100% – 20% = 80% стандартных изделий, поэтому: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что наудачу взятое на складе изделие будет стандартным при условии, что оно принадлежит 1-й партии.

Аналогично, во второй партии 100% – 10% = 90% стандартных изделий и Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что наудачу взятое на складе изделие будет стандартным при условии, что оно принадлежит 2-й партии.

По формуле полной вероятности:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что наудачу взятое на складе изделие будет стандартным.

Часть вторая. Пусть наудачу взятое со склада изделие оказалось стандартным. Эта фраза прямо прописана в условии, и она констатирует тот факт, что событие Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие апроизошло.

По формулам Байеса:

а) Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что выбранное стандартное изделие принадлежит 1-й партии;

б) Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что выбранное стандартное изделие принадлежит 2-й партии.

После переоценки гипотезы Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а, разумеется, по-прежнему образуют полную группу:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а(проверка ;-))

Ответ: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Понять смысл переоценки гипотез нам поможет Иван Васильевич, которой снова сменил профессию и стал директором завода. Он знает, что сегодня 1-й цех отгрузил на склад 4000, а 2-й цех – 6000 изделий, и приходит удостовериться в этом. Предположим, вся продукция однотипна и находится в одном контейнере. Естественно, Иван Васильевич предварительно подсчитал, что изделие, которое он сейчас извлечёт для проверки, с вероятностью Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие абудет выпущено 1-м цехом и с вероятностью Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вторым. Но после того как выбранное изделие оказывается стандартным, он восклицает: «Какой же классный болт! – его скорее выпустил 2-й цех». Таким образом, вероятность второй гипотезы переоценивается в лучшую сторону Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а, а вероятность первой гипотезы занижается: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. И эта переоценка небезосновательна – ведь 2-й цех произвёл не только больше изделий, но и работает в 2 раза лучше!

Вы скажете, чистый субъективизм? Отчасти – да, более того, сам Байес интерпретировал апостериорные вероятности как уровень доверия. Однако не всё так просто – в байесовском подходе есть и объективное зерно. Ведь вероятности того, что изделие будет стандартным (0,8 и 0,9 для 1-го и 2-го цехов соответственно) это предварительные (априорные) и средние оценки. Но, выражаясь философски – всё течёт, всё меняется, и вероятности в том числе. Вполне возможно, что на момент исследования более успешный 2-й цех повысил процент выпуска стандартных изделий (и/или 1-й цех снизил), и если проверить бОльшее количество либо все 10 тысяч изделий на складе, то переоцененные значения Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие аокажутся гораздо ближе к истине.

Кстати, если Иван Васильевич извлечёт нестандартную деталь, то наоборот – он будет больше «подозревать» 1-й цех и меньше – второй. Предлагаю убедиться в этом самостоятельно:

На склад поступило 2 партии изделий: первая – 4000 штук, вторая – 6000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии 20%, во второй – 10%. Наудачу взятое со склада изделие оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что оно: а) из первой партии, б) из второй партии.

Условие отличатся двумя буквами, которые я выделил жирным шрифтом. Задачу можно решить с «чистого листа», или воспользоваться результатами предыдущих вычислений. В образце я провёл полное решение, но чтобы не возникло формальной накладки с Задачей №5, событие «наудачу взятое со склада изделие будет нестандартным» обозначено через Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.

Байесовская схема переоценки вероятностей встречается повсеместно, причём её активно эксплуатируют и различного рода мошенники. Рассмотрим ставшее нарицательным АО на три буквы, которое привлекает вклады населения, якобы куда-то их инвестирует, исправно выплачивает дивиденды и т.д. Что происходит? Проходит день за днём, месяц за месяцем и всё новые и новые факты, донесённые путём рекламы и «сарафанным радио», только повышают уровень доверия к финансовой пирамиде (апостериорная байесовская переоценка в связи с произошедшими событиями!). То есть, в глазах вкладчиков происходит постоянное увеличение вероятности того, что «это серьёзная контора»; при этом вероятность противоположной гипотезы («это очередные кидалы»), само собой, уменьшается и уменьшается. Дальнейшее, думаю, понятно. Примечательно, что заработанная репутация даёт организаторам время успешно скрыться от Ивана Васильевича, который остался не только без партии болтов, но и без штанов.

К не менее любопытным примерам мы вернёмся чуть позже, а пока на очереди, пожалуй, самый распространенный случай с тремя гипотезами:

Электролампы изготавливаются на трех заводах. 1-й завод производит 30% общего количества ламп, 2-й – 55%, а 3-й – остальную часть. Продукция 1-го завода содержит 1% бракованных ламп, 2-го – 1,5%, 3-го – 2%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Купленная лампа оказалась с браком. Какова вероятность того, что она произведена 2-м заводом?

Заметьте, что в задачах на формулы Байеса в условии обязательно фигурирует некое произошедшее событие, в данном случае – покупка лампы.

Событий прибавилось, и решение удобнее оформить в «быстром» стиле.

Алгоритм точно такой же: на первом шаге находим вероятность того, что купленная лампа вообще окажется бракованной.

Пользуясь исходными данными, переводим проценты в вероятности:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятности того, что лампа произведена 1-м, 2-м и 3-м заводами соответственно.
Контроль: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Аналогично: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятности изготовления бракованной лампы для соответствующих заводов.

По формуле полной вероятности:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что купленная лампа окажется с браком.

Шаг второй. Пусть купленная лампа оказалась бракованной (событие произошло)

По формуле Байеса:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что купленная бракованная лампа изготовлена вторым заводом

Ответ: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Почему изначальная вероятность 2-й гипотезы Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие апосле переоценки увеличилась Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а? Ведь второй завод производит средние по качеству лампы (первый – лучше, третий – хуже). Так почему же возросла апостериорная вероятность, что бракованная лампа именно со 2-го завода? Это объясняется уже не «репутацией», а размером. Так как завод №2 выпустил самое большое количество ламп, то на него (по меньшей мере, субъективно) и пеняют: «скорее всего, эта бракованная лампа именно оттуда».

Интересно заметить, что вероятности 1-й и 3-й гипотез, переоценились в ожидаемых направлениях и сравнялись:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Контроль: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а, что и требовалось проверить.

К слову, о заниженных и завышенных оценках:

В студенческой группе 3 человека имеют высокий уровень подготовки, 19 человек – средний и 3 – низкий. Вероятности успешной сдачи экзамена для данных студентов соответственно равны: 0,95; 0,7 и 0,4. Известно, что некоторый студент сдал экзамен. Какова вероятность того, что:

а) он был подготовлен очень хорошо;
б) был подготовлен средне;
в) был подготовлен плохо.

Проведите вычисления и проанализируйте результаты переоценки гипотез.

Задача приближена к реальности и особенно правдоподобна для группы студентов-заочников, где преподаватель практически не знает способностей того или иного студента. При этом результат может послужить причиной довольно-таки неожиданных последствий (особенно это касается экзаменов в 1-м семестре). Если плохо подготовленному студенту посчастливилось с билетом, то преподаватель с большой вероятностью сочтёт его хорошо успевающим или даже сильным студентом, что принесёт неплохие дивиденды в будущем (естественно, нужно «поднимать планку» и поддерживать свой имидж). Если же студент 7 дней и 7 ночей учил, зубрил, повторял, но ему просто не повезло, то дальнейшие события могут развиваться в самом скверном ключе – с многочисленными пересдачами и балансировкой на грани вылета.

Что и говорить, репутация – это важнейший капитал, не случайно многие корпорации носят имена-фамилии своих отцов-основателей, которые руководили делом 100-200 лет назад и прославились своей безупречной репутацией.

Да, байесовский подход в известной степени субъективен, но… так устроена жизнь!

Закрепим материал заключительным индустриальным примером, в котором я расскажу о до сих пор не встречавшихся технических тонкостях решения:

Три цеха завода производят однотипные детали, которые поступают на сборку в общий контейнер. Известно, что первый цех производит в 2 раза больше деталей, чем второй цех, и в 4 раза больше третьего цеха. В первом цехе брак составляет 12%, во втором – 8%, в третьем – 4%. Для контроля из контейнера берется одна деталь. Какова вероятность того, что она окажется бракованной? Какова вероятность того, что извлечённую бракованную деталь выпустил 3-й цех?

Таки Иван Васильевич снова на коне =) Должен же быть у фильма счастливый конец =)

Решение: в отличие от Задач №№5-8 здесь в явном виде задан вопрос, который разрешается с помощью формулы полной вероятности. Но с другой стороны, условие немного «зашифровано», и разгадать этот ребус нам поможет школьный навык составлять простейшие уравнения. За «икс» удобно принять наименьшее значение:

Пусть Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– доля деталей, выпускаемая третьим цехом.

По условию, первый цех производит в 4 раза больше третьего цеха, поэтому доля 1-го цеха составляет Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.

Кроме того, первый цех производит изделий в 2 раза больше, чем второй цех, а значит, доля последнего: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.

Составим и решим уравнение:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а
Таким образом: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятности того, что извлечённая из контейнера деталь выпущена 1-м, 2-м и 3-м цехами соответственно.

Контроль: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Кроме того, будет не лишним ещё раз посмотреть на фразу «Известно, что первый цех производит изделий в 2 раза больше второго цеха и в 4 раза больше третьего цеха» и убедиться, что полученные значения вероятностей действительно соответствуют этому условию.

За «икс» изначально можно было принять долю 1-го либо долю 2-го цеха – вероятности выйдут такими же. Но, так или иначе, самый трудный участок пройден, и решение входит в накатанную колею:

Из условия находим:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятности изготовления бракованной детали для соответствующих цехов.

По формуле полной вероятности: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что наугад извлеченная из контейнера деталь окажется нестандартной.

Вопрос второй: какова вероятность Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие атого, что извлечённую бракованную деталь выпустил 3-й цех? Данный вопрос предполагает, что деталь уже извлечена, и она оказалось бракованной. Переоцениваем гипотезу по формуле Байеса:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– искомая вероятность. Совершенно ожидаемо – ведь третий цех производит не только самую малую долю деталей, но и лидирует по качеству!

В данном случае пришлось упрощать четырёхэтажную дробь, что в задачах на формулы Байеса приходится делать довольно часто. Но для данного урока я как-то так случайно подобрал примеры, в которых многие вычисления можно провести без обыкновенных дробей.

Коль скоро в условии нет пунктов «а» и «бэ», то ответ лучше снабдить текстовыми комментариями:

Ответ: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что извлечённая из контейнера деталь окажется бракованной; Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что извлечённую бракованную деталь выпустил 3-й цех.

Как видите, задачи на формулу полной вероятности и формулы Байеса достаточно простЫ, и, наверное, по этой причине в них так часто пытаются затруднить условие, о чём я уже упоминал в начале статьи.

Дополнительные примеры есть в файле с готовыми решениями на Ф.П.В. и формулы Байеса, кроме того, наверное, найдутся желающие более глубоко ознакомиться с данной темой в других источниках. А тема действительно очень интересная – чего только стОит один парадокс Байеса, который обосновывает тот житейский совет, что если у человека диагностирована редкая болезнь, то ему имеет смысл провести повторное и даже два повторных независимых обследования. Казалось бы, это делают исключительно от отчаяния… – а вот и нет! Но не будем о грустном.

Задача 2: Решение: рассмотрим гипотезы Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а, состоящие в том, что стрелок выберет 1-ю, 2-ю, 3-ю, 4-ю и 5-ю винтовку соответственно. Выбор любой винтовки равновозможен, следовательно: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.
Рассмотрим событие Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– стрелок попадёт в мишень из наугад взятой винтовки.
По условию: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.
По формуле полной вероятности:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а
Ответ: 0,58

Задача 4: Решение: из условия находим Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятности того, что двигатель работает на холостом ходу, в нормальном и форсированном режимах соответственно.
По условию Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятности выхода из строя двигателя для холостого, нормального и форсированного режима соответственно.
По формуле полной вероятности:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что двигатель выйдет из строя
Ответ: 0,215

Задача 6: Решение: рассмотрим две гипотезы:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– наудачу взятое изделие будет из 1-й партии;
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– наудачу взятое изделие принадлежит 2-й партии.
Всего: 4000 + 6000 = 10000 изделий на складе. По классическому определению:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а.
Рассмотрим событие: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– наудачу взятое со склада изделие будет нестандартным.
Из условия находим: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятности того, что изделие из соответствующих партий будет нестандартным.
По формуле полной вероятности:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а
Примечание: данную вероятность легко найти, пользуясь результатом Задачи 5:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а
Пусть событие Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие апроизошло (извлечено нестандартное изделие).

По формулам Байеса:
а) Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что выбранное нестандартное изделие принадлежит 1-й партии;
б) Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что выбранное нестандартное изделие принадлежит 2-й партии.
Ответ: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Задача 8: Решение: всего: 3 + 19 + 3 = 25 студентов в группе. По классическому определению:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятности того, что экзаменующийся студент имеет высокий, средний и низкий уровень подготовки соответственно.
Контроль: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а
По условию: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятности успешной сдачи экзамена для студентов соответствующих уровней подготовки.
По формуле полной вероятности:
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а
Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что произвольно выбранный студент сдаст экзамен.
Пусть студент сдал экзамен. По формулам Байеса:
а) Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что студент, сдавший экзамен, был подготовлен очень хорошо. Объективная исходная вероятность Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие аоказывается завышенной, поскольку почти всегда некоторым «середнячкам» везёт с вопросами и они отвечают очень сильно, что вызывает ошибочное впечатление безупречной подготовки.
б) Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что студент, сдавший экзамен, был подготовлен средне. Исходная вероятность Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие аоказывается чуть завышенной, т.к. студентов со средним уровнем подготовки обычно большинство, кроме того, сюда преподаватель отнесёт неудачно ответивших «отличников», а изредка и плохо успевающего студента, которому крупно повезло с билетом.
в) Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а– вероятность того, что студент, сдавший экзамен, был подготовлен плохо. Исходная вероятность Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие апереоценилась в худшую сторону. Неудивительно.
Проверка: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а
Ответ: Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Смотреть картинку Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Картинка про Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а. Фото Формулы байеса определяют вероятность наступления гипотезы если известно что наступило событие а Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *