Как сделать дельту в маткаде

Встроенные операторы и функции Mathcad

Таблица ПЗ.1. Арифметические операторы

Вычитание или отрицание (унарная операция)

Матричное умножение, умножение на скаляр

Скобки (изменение приоритета)

Возведение в степень n

Возведение матрицы в степень n

Скалярные операции над векторами и матрицами, если это не оговорено особо, производятся независимо над их каждым элементом, как над скаляром.

Таблица П3.2. Вычислительные операторы

Вычисление n-й производной

Сумма ранжированной переменной

Произведение ранжированной переменной

Таблица ПЗ.З. Встроенные функции по алфавиту

Обратная тригонометрическая или гиперболическая функция *

Функция Эйри первого рода

х,у — координаты точки

Угол между точкой и осью ОХ

file— строковое представление пути к файлу

Дозапись данных в существующий текстовый файл

z — аргумент функции

Аргумент комплексного числа

х,у — координаты точки

Угол, отсчитываемый от оси ОХ до точки (х,у)

А,В,С. — векторы или матрицы

Слияние матриц слева направо

n — порядок х — аргумент

Мнимая и действительная части функции Бесселя —Кельвина

Функция Эйри второго рода

х,у — векторы данных

и — вектор значений сшивок В-сплайнов

n — порядок полиномов

Вектор коэффициентов В-сплайна

Bulstoer (y0, t0, t1, M, D)

Возвращает матрицу с решением задачи Коши для системы ОДУ методом Булирша-Штера

bulstoer (y0, t0, t1, acc, D, k, s)

Возвращает матрицу с решением задачи Коши для системы ОДУ методом Булирша-Штера (для определения только последней точки интервала)

Bvalf it (z1, z2, x0, x1, xf, D, load1, load2, score)

zl,z2 — вектор начальных значений для недостающих левых и правых граничных условий

хО — левая граница xl — правая граница xf — внутренняя точка

D(x,y) — векторная функция, задающая систему ОДУ

Возвращает вектор недостающих граничных условий у краевой задачи для системы N ОДУ с дополнительным условием в промежуточной точке

Наименьшее целое, не меньшее х

Вектор прямого комплексного преобразования Фурье (в разных нормировках)

А — квадратная, определенная матрица

А — матрица или вектор

Объединение строковых переменных

А — квадратная матрица

Числа обусловленности в разных нормах (Ы, L2, Евклидова, »)

А — матрица i — индекс столбца

Сортировка строк матрицы по элементам 1-го столбца

CreateMesh (F, s0, s1, t0, t1, sgr, tgr, fmap)

tO.tl — пределы! sO.sl — пределы s

tgr, sgr — число точек сетки по t и s

fmap— функция преобразования координат

Cre-ateSpace(F[, t0, t1, tgr, fmap])

F(t) — векторная функция из трех элементов

tgr — число точек сетки по t

fmap— функция преобразования координат

Комплексный знак числа

х,у — векторы данных

Вектор коэффициентов кубического сплайна

r,6,z— цилиндрические координаты

Преобразование цилиндрических координат в прямоугольные

х— значение случайной величины

par — список параметров распределения *

Плотность вероятности со статистикой распределения *

Диагональная матрица, на диагонали которой находятся элементы вектора

А — квадратная матрица

Собственные значения матрицы

А — квадратная матрица

А. — собственное значение

Собственный вектор матрицы, соответствующий заданному собственному значению

А — квадратная матрица

Собственные векторы матрицы

Обратная функция ошибок

Возвращает строку S как сообщение об ошибке

Экспонента в степени z

x,y — векторы данных

g — вектор начальных значений а,Ь,с

Вектор прямого преобразования Фурье (в разных нормировках)

Функция Бесселя второго рода нулевого, первого и m-го порядка

n — порядок х — аргумент

Сферическая функция Бесселя второго рода

Некоторые функции, составляющие семейства типовых функций, приведены в сокращенном виде с недостающей частью имени в виде звездочки *. Например, различные статистические функции, описывающие различные распределения, или функции вывода в файлы. Подробные сведения содержатся в разделе, на который указывает соответствующая ссылка.

Источник

Как сделать дельту в маткаде

Этот раздел описывает тригонометрические, гиперболические и показательные функции Mathcad вместе с обратными им. Здесь также описываются встроенные функции Бесселя.

Тригонометрические функции и обратные им.

Тригонометрические функции Mathcad и обратные им определены для любого комплексного аргумента. Они также возвращают комплексные значения везде, где необходимо. Результаты для комплексных значений вычисляются с использованием тождеств:

Для применения этих функций к каждому элементу вектора или матрицы используйте оператор векторизации.

Обратите внимание, что все эти тригонометрические функции используют аргумент, выраженный в радианах. Чтобы перейти к градусам, используется встроенная единица deg. Например, чтобы вычислить синус 45 градусов, введите sin(45*deg).

Имейте в виду, что из-за ошибок округления, свойственных машинной арифметике, Mathcad может возвращать очень большое число в той точке, где находится особенность вычисляемой функции. Вообще, необходимо быть осторожным при вычислениях в окрестности таких точек.

Гиперболические функции sinh и cosh определяются формулами:

Эти функции также могут использовать комплексный аргумент и возвращать комплексные значения. Гиперболические функции тесно связаны с тригонометрическими функциями. Справедливы формулы:

sinh(iz)=isin(z)cosh(iz)=cos(z)

Логарифмические и показательные функции

Логарифмические и показательные функции Mathcad могут использовать комплексный аргумент и возвращать комплексные значения. Значения экспоненциальной функции для комплексного аргумента вычисляются с применением формулы

e x+iy =e x (cos(y) + isin(y))

Вообще говоря, значения натурального логарифма даются формулой

ln(x + iy)=ln|x + iy|+ atan(y/x)i + 2n p i

В Mathcad функция ln возвращает значение, соответствующее n = 0. А именно:

ln(x + iy)=ln|x + iy|+ atan(y/x)i

Оно называется основным значением логарифма. Рисунок 1 иллюстрирует некоторые основные свойства логарифма.

exp(z)	Возвращает e в степени z.
ln(z)	Возвращает натуральный логарифм z. (z0).
log(z)	Возвращает логарифм z по основанию 10. (z0).

На Рисунке 1 показано, как можно использовать эти функции для вычисления логарифма по любому основанию.

Рисунок 1: Использование логарифмических функций.

Эти функции обычно возникают как решения для волнового уравнения, подчиненного цилиндрическим граничным условиям.

Функции Бесселя первого и второго рода, J_n(x) и Y_n(x), являются решениями для дифференциального уравнения

Модифицированные функции Бесселя первого и второго рода, I_n(x) и K_n(x), являются решениями для немного видоизмененного уравнения:

J0(x)	Возвращает J0(x); x вещественный.
J1(x)	Возвращает J1(x); x вещественный.
Jn(m, x)	Возвращает Jn(x); x вещественный, 0m100.
Y0(x)	Возвращает Y0(x); x вещественный, x > 0.
Y1(x)	Возвращает Y1(x); x вещественный, x > 0.
Yn(m, x)	Возвращает Yn(x). x > 0, 0m100
I0(x)	Возвращает I0(x); x вещественный.
I1(x)	Возвращает I1(x); x вещественный.
In(m, x)	Возвращает In(x); x вещественный, 0m100.
K0(x)	Возвращает K0(x); x вещественный, x > 0.
K1(x)	Возвращает K1(x); x вещественный, x > 0.
Kn(m, x)	Возвращает Kn(x). x > 0, 0m100

Следующие функции возникают в широком круге задач.

x должен быть вещественным. G (z)Возвращает значение эйлеровой гамма-функции в z. Для вещественного z значения этой функции совпадают со следующим интегралом:

Гамма-функция Эйлера удовлетворяет рекуррентному соотношению

Откуда следует для положительных целых z:

Интеграл ошибок часто возникает в статистике. Он может также быть использован для определения дополнения интеграла ошибок по формуле:

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Источник

Как сделать дельту в маткаде

Интерполяция использует значения некоторой функции, заданные в ряде точек, чтобы предсказать значения функции между ними. В Mathcad можно или соединять точки данных прямыми линиями (линейная интерполяция) или соединять их отрезками кубического полинома (кубическая сплайн-интерполяция).

В отличие от функций регрессии, обсуждаемых в следующем разделе, функции интерполяции определяют кривую, точно проходящую через заданные точки. Из-за этого результат очень чувствителен к ошибкам данных. Если данные зашумлены, следует рассмотреть возможность использования регрессии вместо интерполяции.

Линейное предсказание заключается в использовании существующих значений данных, чтобы предсказать значения за их пределами. В Mathcad есть функция, которая позволяет предсказывать будущие значения данных на основе уже имеющихся данных.

Всякий раз, когда массивы используются в любой из функций, описанных в этом разделе, убедитесь, что каждый элемент массива содержит определённое значение, так как Mathcad присваивает значение 0 любым элементам, которые явно не определены.

При линейной интерполяции Mathcad соединяет существующие точки данных прямыми линиями. Это выполняется функцией linterp, описанной ниже.

Эта функция соединяет точки данных отрезками прямых, создавая таким образом ломаную. Интерполируемое значение для конкретного x есть ордината y соответствующей точки ломаной.

Для значений x, расположенных перед первой точкой в vx, Mathcad продолжает ломаную прямой линией, проходящей через первые две точки данных. Для значений x, расположенных за последней точкой в vx, Mathcad продолжает ломаную прямой линией, проходящей через последние две точки данных.

Для получения наилучших результатов значение x должно находиться между самым большим и самым маленьким значениями в векторе vx — маловероятно, что будут полезны значения, вычисленные для x вне этого диапазона. Функция linterp предназначена для интерполяции, а не экстрaполяции. Рисунок 5 показывает некоторые примеры линейной интерполяции.

Рисунок 5: Примеры линейной интерполяции.

Кубическая сплайн-интерполяция позволяет провести кривую через набор точек таким образом, что первые и вторые производные кривой непрерывны в каждой точке. Эта кривая образуется путем создания ряда кубических полиномов, проходящих через наборы из трёх смежных точек. Кубические полиномы затем состыковываются друг с другом, чтобы образовать одну кривую.

Обратите внимание, что можно сделать то же самое, вычисляя:

Рисунок 6: Пример сплайн-интерполяции.

На практике, возможно, придётся вычислять interp во многих различных точках. Так как обращение к cspline может требовать много времени, и так как возвращаемый ею результат не зависит от рассматриваемой точки, имеет смысл сделать это один раз, сохранить результат и многократно использовать, как описано выше.

Рисунок 6 показывает, как построить сплайн для примера, приведенного на Рисунке 5. Описание шагов, сделанных на Рисунке 6:

Выражение с функцией cspline вычисляет массив вторых производных vs для сплайна, используемого для интерполяции данных из vx и vy.

Как только массив vs найден, функция interp вычисляет интерполируемые значения.

Обратите внимание, что массив vs должен вычисляться только один раз, даже для множественных интерполяций. Так как вычисление vs требует много времени, лучше сохранять промежуточные результаты в виде вектора, чем повторно вычислять их по мере необходимости.

В дополнение к cspline Mathcad поставляется с двумя другими кубическими сплайн-функциями. Три сплайн-функции:

Они все возвращают вектор коэффициентов вторых производных, который мы будем называть vs. Этот вектор, vs, обычно используется в функции interp, описанной ниже. Аргументы vx и vy должны быть вещественнозначными векторами одинаковой длины. Значения в vx должны быть вещественны и расположены в порядке возрастания.

Интерполируемое значение для конкретного x есть ордината y соответствующей точки сплайна. Для значений x, расположенных перед первой точкой в vx, Mathcad продолжает сплайн первой из составляющих его кубических парабол. Для значений x, расположенных за последней точкой в vx, Mathcad продолжает сплайн последней из составляющих его кубических парабол.

Для получения наилучших результатов значение x должно находиться между самым большим и самым маленьким значениями в векторе vx — маловероятно, что будут полезны значения, вычисленные для x вне этого диапазона. Сплайны предназначены для интерполяции, а не экстрaполяции.

Интерполяция вектора точек

Можно использовать оператор векторизации, чтобы вычислить сразу целый набор интерполируемых значений, соответствующих вектору заданных точек. Это возможно и с interp, и с linterp.

Рисунок 7 показывает, как выполнить эту операцию. Чтобы применить оператор векторизации к функции, щёлкните мышью на имени функции и нажимайте [ ­ ], пока в рамку не попадёт нужная функция. Затем нажмите [Ctrl]- (держите нажатой клавишу [Ctrl] и нажмите знак минус).

Рисунок 7: Вычисление интерполируемых значений в наборе точек.

Интерполяция сплайнами функций нескольких переменных

Mathcad выполняет интерполяцию кубическими сплайнами функции двух переменных тем же самым образом, как и в одномерном случае, обсужденном ранее. Mathcad проводит через сетку узлов поверхность, составленную из кубических полиномов от x и y, таким образом, что первые и вторые частные производные являются непрерывными в каждом узле сетки.

interp( cspline( Mxy, Mz), Mxy, Mz, )

На практике, возможно, придётся вычислять interp во многих различных точках. Так как обращение к cspline может требовать много времени, и так как возвращаемый ею результат не зависит от рассматриваемой точки, имеет смысл сделать это один раз, сохранить результат и многократно использовать, как описано выше.

В дополнение к cspline Mathcad поставляется с двумя другими функциями сплайн-интерполяции. Функции сплайн-интерполяции Mathcad:

Для получения наилучших результатов не используйте функцию interp для значений x и y, удалённых от узлов сетки. Сплайны предназначены для интерполяции, а не экстрaполяции, поэтому маловероятно, что значения, вычисленные для таких x и y, будут полезны.

Функции интерполяции, описанные в этом разделе до сих пор, позволяют по заданным значениям некоторой функции в ряде точек оценить её значения в промежуточных точках. Иногда необходимо оценить значения функции в точках, находящихся вне области расположения сетки, на которой заданы значения функции. В Mathcad есть функция predict, которая позволяет это сделать. Эта функция использует линейный алгоритм предсказания, который является полезным, когда экстраполируемая функция является гладкой и осциллирующей, хотя не обязательно периодической. Линейное предсказание можно рассматривать как разновидность экстрaполяции, но его нельзя путать с линейной или полиномиальной экстрaполяцией.

Рисунок 8: Использование функции предсказания для экстраполяции данных.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Источник