Как сделать доверительный интервал
Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности
При оценке параметров генеральной совокупности следует иметь в виду, что выборочные статистики, такие как 
, зависят от конкретных выборок. Чтобы учесть этот факт, для получения интервальной оценки математического ожидания генеральной совокупности анализируют распределение выборочных средних (подробнее см. Выборочные распределения). Построенный интервал характеризуется определенным доверительным уровнем, который представляет собой вероятность того, что истинный параметр генеральной совокупности оценен правильно. Аналогичные доверительные интервалы можно применять для оценки доли признака р и основной распределенной массы генеральной совокупности.
Скачать заметку в формате Word или pdf, примеры в формате Excel2013
Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности при известном стандартном отклонении
Ранее мы применили информацию о распределении и центральную предельную теорему, [2] чтобы вычислить процентную долю выборочных средних, лежащих в окрестности математического ожидания генеральной совокупности на расстоянии, не превышающем заданное. Например, при анализе веса коробок с кукурузными хлопьями, 95% всех выборочных средних лежат в интервале от 362,12 до 373,88 г. Это утверждение получено с помощью дедукции, поскольку свойства выборки определялись на основе данных о генеральной совокупности. Однако теперь нам необходимо применить противоположный способ рассуждения — индуктивный, так как в теории статистического вывода, наоборот, свойства генеральной совокупности определяются на основе параметров отдельной выборки. На практике математическое ожидание генеральной совокупности, как правило, не известно и должно быть оценено. Вернемся к примеру с коробками. Допустим теперь, что математическое ожидание генеральной совокупности μ не известно, а истинное стандартное отклонение генеральной совокупности σ равно 15 г. Тогда в формулах для определения границ интервала μ ± 1,96σ/√n математическое ожидание генеральной совокупности μ следует заменить выборочным средним . Следовательно, для оценки неизвестного математического ожидания генеральной совокупности можно применить интервал ± 1,96σ/√n. На практике, как правило, из генеральной совокупности извлекают выборку фиксированного объема n и вычисляют выборочное среднее . Однако, чтобы понять смысл интервальной оценки, необходимо рассмотреть гипотетическое множество всех возможных выборок данного объема.
Допустим, например, что математическое ожидание генеральной совокупности μ равно 368 г. Предположим, что из генеральной совокупности коробок извлекается выборка, состоящая из 25 коробок, средний вес которых равен 362,3 г. Интервал, предложенный для оценки математического ожидания μ, имеет границы: 362,3 ± 1,96×15/√25 = 362,3 ± 5,88. Таким образом, 356,42 2 необходимо вычислить величину
Таким образом, для вычисления выборочной дисперсии необходимо знать . Следовательно, мы можем варьировать лишь n – 1 выборочное значение. Это означает, что величина обладает n – 1 степенями свободы. Допустим, например, что выборка состоит из 5 чисел, а ее выборочное среднее равно 20. Сколько разных значений необходимо знать для того, чтобы однозначно определить остальные? Если n = 5 и = 20, то
Таким образом, если известны четыре величины, пятое значение уже не свободно, поскольку сумма должна быть равна 100. Например, если нам известны величины 18, 24, 19 и 16, пятая величина должна быть равной 23, поскольку сумма равна 100.
Доверительный интервал. Рассмотрим формулу для вычисления интервала, содержащего математическое ожидание при неизвестном стандартном отклонении с вероятностью (1 – α)х100%.
где tn – 1 — критическое значение t-распределения с n – 1 степенями свободы, соответствующее площади, ограниченной правым хвостом и равной α/2.
Проиллюстрируем применение этой формулы. Предположим, что при аудиторской проверки из информационной системы извлечена выборка, состоящая из 100 накладных, заполненных в течение последнего месяца. Допустим, что выборочное среднее равно 110,27долл., а выборочное стандартное отклонение — 28,95 долл. Если компания желает построить интервал, имеющий доверительный уровень, равный 95%, критическое значение t-распределения равно 1,9842 (см. табл. 7.1). Используя формулу доверительного интервала получаем:
Кроме уже перечисленных в Excel есть еще целый ряд функций, работающих с t-распределением Стьюдента. Например, вычисление доверительного интервала, содержащего среднюю сумму накладных, с помощью Excel продемонстрировано на рис. 9. Заметим, что до версии 2010 Excel не содержит функции, непосредственно рассчитывающей доверительный интервал для t-распределения Стьюдента.
Рис. 9. Вычисление доверительного интервала, содержащего среднюю сумму накладных, с помощью функции Excel =ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ()
Таким образом, вероятность того, что средняя сумма накладных находится в интервале от 104,53 до 116,01, равна 95%.
Рассмотрим пример 2. Некая промышленная компания на Среднем Западе производит электрические изоляторы. Если во время работы изолятор выходит из строя, происходит короткое замыкание. Чтобы проверить прочность изолятора, компания проводит испытания, в ходе которых определяется максимальная сила, необходимая для разрушения изолятора. Сила измеряется в фунтах нагрузки, приводящей к разрушению изолятора (рис. 10, столбец А). Постройте интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности величин силы, необходимой для разрушения изолятора, доверительный уровень которого равен 95%.
Решение. Как показано на рис. 10, выборочное среднее равно =1723,4 фунта, а выборочное стандартное отклонение равно S = 89,55 фунта.
Рис. 10. Результаты экспериментов и расчет доверительного интервала
Вероятность того, что средняя величина силы разрушения изолятора находится в интервале от 1689,96 до 1756,84, равна 95%. Корректность этих доверительных интервалов зависит от того, насколько распределение генеральной совокупности близко к нормальному. Напомним, что требование о большом объеме выборки можно ослабить. Таким образом, если объем выборки равен 30, предположение о нормальном распределении остается правдоподобным, даже если распределение силы разрушения слегка асимметрично. График нормального распределения (рис. 11а) и блочная диаграмма (рис. 11б) свидетельствуют о том, что распределение силы разрушения имеет легкую асимметрию, следовательно, для решения задачи можно применять t-распределение.
Рис 11. Средняя величины силы, необходимой для разрушения изолятора: (а) график нормального распределения (подробнее о том, как построить такой график см. Проверка гипотезы о нормальном распределении); (б) блочная диаграмма (подробнее о построении таких диаграмм см. Excel. Биржевая диаграмма, она же блочная, она же ящичная)
Построение доверительного интервала для доли признака в генеральной совокупности
В этом разделе понятие доверительного интервала распространяется на категорийные данные. Это позволяет оценить долю признака в генеральной совокупности р с помощью выборочной доли рS = Х/n. Как указывалось ранее, если величины nр и n(1 – р) превышают число 5, биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным. Следовательно, для оценки доли признака в генеральной совокупности р можно построить интервал, доверительный уровень которого равен (1 – α)х100%.
где pS — выборочная доля признака, равная Х/n, т.е. количеству успехов, деленному на объем выборки, р — доля признака в генеральной совокупности, Z — критическое значение стандартизованного нормального распределения, n — объем выборки.
Пример 3. Предположим, что из информационной системы извлечена выборка, состоящая из 100 накладных, заполненных в течение последнего месяца. Допустим, что 10 из этих накладных составлены с ошибками. Таким образом, р = 10/100 = 0,1. Доверительному уровню 95% соответствует критическое значение Z = 1,96.
Таким образом, вероятность того, что от 4,12% до 15,88% накладных содержат ошибки, равна 95%.
Для заданного объема выборки доверительный интервал, содержащий долю признака в генеральной совокупности, кажется более широким, чем для непрерывной случайной величины. Это объясняется тем, что измерения непрерывной случайной величины содержат больше информации, чем измерения категорийных данных. Иначе говоря, категорийные данные, принимающие лишь два значения, содержат недостаточно информации для оценки параметров их распределения.
Вычисление оценок, извлеченных из конечной генеральной совокупности
Оценка математического ожидания. Поправочный коэффициент для конечной генеральной совокупности (fpc) ранее использовался для уменьшения стандартной ошибки в 
раз. При вычислении доверительных интервалов для оценок параметров генеральной совокупности поправочный коэффициент применяется в ситуациях, когда выборки извлекаются без возвращения. Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания, имеющий доверительный уровень, равный (1 – α)х100%, вычисляется по формуле:
Пример 4. Чтобы проиллюстрировать применение поправочного коэффициента для конечной генеральной совокупности, вернемся к задаче о вычислении доверительного интервала для средней суммы накладных, рассмотренной выше в примере 3. Предположим, что за месяц в компании выписываются 5000 накладных, причем X̅ =110,27долл., S = 28,95 долл., N = 5000, n = 100, α = 0,05, t99 = 1,9842. По формуле (6) получаем:
Оценка доли признака. При выборе без возвращения доверительный интервал для доли признака, имеющий доверительный уровень, равный (1 – α)х100%, вычисляется по формуле:
Доверительные интервалы и этические проблемы
При выборочном исследовании генеральной совокупности и формулировании статистических выводов часто возникают этические проблемы. Основная из них — как согласуются доверительные интервалы и точечные оценки выборочных статистик. Публикация точечных оценок без указания соответствующих доверительных интервалов (как правило, имеющих 95%-ный доверительный уровень) и объема выборки, на основе которых они получены, может породить недоразумения. Это может создать у пользователя впечатление, что точечная оценка — именно то, что ему необходимо, чтобы предсказать свойства всей генеральной совокупности. Таким образом, необходимо понимать, что в любых исследованиях во главу угла должны быть поставлены не точечные, а интервальные оценки. Кроме того, особое внимание следует уделять правильному выбору объемов выборки.
Чаще всего объектами статистических манипуляций становятся результаты социологических опросов населения по тем или иным политическим проблемам. При этом результаты опроса выносят на первые страницы газет, а ошибку выборочного исследования и методологию статистического анализа печатают где-нибудь в середине. Чтобы доказать обоснованность полученных точечных оценок, необходимо указывать объем выборки, на основе которой они получены, границы доверительного интервала и его уровень значимости.
[1] Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 448–462
[2] Центральная предельная теорема утверждает, что при достаточно большом объеме выборок выборочное распределение средних можно аппроксимировать нормальным распределением. Это свойство не зависит от вида распределения генеральной совокупности.
[3] На мой взгляд авторы некорректно используют такую точность; если измерения ведутся с точностью до тысячной дюйма, то и вычисления следует округлять до той же точности. Я бы записал = 10,998 ± 0,004; 10,994
Вычисление доверительного интервала в Microsoft Excel
Одним из методов решения статистических задач является вычисление доверительного интервала. Он используется, как более предпочтительная альтернатива точечной оценке при небольшом объеме выборки. Нужно отметить, что сам процесс вычисления доверительного интервала довольно сложный. Но инструменты программы Эксель позволяют несколько упростить его. Давайте узнаем, как это выполняется на практике.
Процедура вычисления
Этот метод используется при интервальной оценке различных статистических величин. Главная задача данного расчета – избавится от неопределенностей точечной оценки.
В Экселе существуют два основных варианта произвести вычисления с помощью данного метода: когда дисперсия известна, и когда она неизвестна. В первом случае для вычислений применяется функция ДОВЕРИТ.НОРМ, а во втором — ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ.
Способ 1: функция ДОВЕРИТ.НОРМ
Оператор ДОВЕРИТ.НОРМ, относящийся к статистической группе функций, впервые появился в Excel 2010. В более ранних версиях этой программы используется его аналог ДОВЕРИТ. Задачей этого оператора является расчет доверительного интервала с нормальным распределением для средней генеральной совокупности.
Его синтаксис выглядит следующим образом:
«Альфа» — аргумент, указывающий на уровень значимости, который применяется для расчета доверительного уровня. Доверительный уровень равняется следующему выражению:
«Стандартное отклонение» — это аргумент, суть которого понятна из наименования. Это стандартное отклонение предлагаемой выборки.
«Размер» — аргумент, определяющий величину выборки.
Все аргументы данного оператора являются обязательными.
Функция ДОВЕРИТ имеет точно такие же аргументы и возможности, что и предыдущая. Её синтаксис таков:
Как видим, различия только в наименовании оператора. Указанная функция в целях совместимости оставлена в Excel 2010 и в более новых версиях в специальной категории «Совместимость». В версиях же Excel 2007 и ранее она присутствует в основной группе статистических операторов.
Граница доверительного интервала определяется при помощи формулы следующего вида:
Где X – это среднее выборочное значение, которое расположено посередине выбранного диапазона.
Теперь давайте рассмотрим, как рассчитать доверительный интервал на конкретном примере. Было проведено 12 испытаний, вследствие которых были получены различные результаты, занесенные в таблицу. Это и есть наша совокупность. Стандартное отклонение равно 8. Нам нужно рассчитать доверительный интервал при уровне доверия 97%.
Значит, чтобы посчитать уровень значимости, то есть, определить значение «Альфа» следует применить формулу такого вида:
То есть, подставив значение, получаем:
Путем нехитрых расчетов узнаем, что аргумент «Альфа» равен 0,03. Вводим данное значение в поле.
Как известно, по условию стандартное отклонение равно 8. Поэтому в поле «Стандартное отклонение» просто записываем это число.
В поле «Размер» нужно ввести количество элементов проведенных испытаний. Как мы помним, их 12. Но чтобы автоматизировать формулу и не редактировать её каждый раз при проведении нового испытания, давайте зададим данное значение не обычным числом, а при помощи оператора СЧЁТ. Итак, устанавливаем курсор в поле «Размер», а затем кликаем по треугольнику, который размещен слева от строки формул.
Появляется список недавно применяемых функций. Если оператор СЧЁТ применялся вами недавно, то он должен быть в этом списке. В таком случае, нужно просто кликнуть по его наименованию. В обратном же случае, если вы его не обнаружите, то переходите по пункту «Другие функции…».
Группа аргументов «Значения» представляет собой ссылку на диапазон, в котором нужно рассчитать количество заполненных числовыми данными ячеек. Всего может насчитываться до 255 подобных аргументов, но в нашем случае понадобится лишь один.
Устанавливаем курсор в поле «Значение1» и, зажав левую кнопку мыши, выделяем на листе диапазон, который содержит нашу совокупность. Затем его адрес будет отображен в поле. Клацаем по кнопке «OK».
Общий результат вычислений составил 5,011609.
Данный оператор предназначен для расчета среднего арифметического значения выбранного диапазона чисел. Он имеет следующий довольно простой синтаксис:
Аргумент «Число» может быть как отдельным числовым значением, так и ссылкой на ячейки или даже целые диапазоны, которые их содержат.
Итак, выделяем ячейку, в которую будет выводиться расчет среднего значения, и щелкаем по кнопке «Вставить функцию».
Результат вычисления: 6,953276
Результат вычисления: -3,06994
Способ 2: функция ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ
Кроме того, в Экселе есть ещё одна функция, которая связана с вычислением доверительного интервала – ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ. Она появилась, только начиная с Excel 2010. Данный оператор выполняет вычисление доверительного интервала генеральной совокупности с использованием распределения Стьюдента. Его очень удобно использовать в том случае, когда дисперсия и, соответственно, стандартное отклонение неизвестны. Синтаксис оператора такой:
Как видим, наименования операторов и в этом случае остались неизменными.
Посмотрим, как рассчитать границы доверительного интервала с неизвестным стандартным отклонением на примере всё той же совокупности, что мы рассматривали в предыдущем способе. Уровень доверия, как и в прошлый раз, возьмем 97%.
В поле «Альфа», учитывая, что уровень доверия составляет 97%, записываем число 0,03. Второй раз на принципах расчета данного параметра останавливаться не будем.
После этого устанавливаем курсор в поле «Стандартное отклонение». На этот раз данный показатель нам неизвестен и его требуется рассчитать. Делается это при помощи специальной функции – СТАНДОТКЛОН.В. Чтобы вызвать окно данного оператора, кликаем по треугольнику слева от строки формул. Если в открывшемся списке не находим нужного наименования, то переходим по пункту «Другие функции…».
Нетрудно догадаться, что аргумент «Число» — это адрес элемента выборки. Если выборка размещена единым массивом, то можно, использовав только один аргумент, дать ссылку на данный диапазон.
Устанавливаем курсор в поле «Число1» и, как всегда, зажав левую кнопку мыши, выделяем совокупность. После того, как координаты попали в поле, не спешим жать на кнопку «OK», так как результат получится некорректным. Прежде нам нужно вернуться к окну аргументов оператора ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ, чтобы внести последний аргумент. Для этого кликаем по соответствующему наименованию в строке формул.
Как видим, инструменты программы Excel позволяют существенно облегчить вычисление доверительного интервала и его границ. Для этих целей используются отдельные операторы для выборок, у которых дисперсия известна и неизвестна.