Как сделать график производной

Применение производной к построению графиков функций

Урок 13. Алгебра 11 класс ФГОС

Конспект урока «Применение производной к построению графиков функций»

Сегодня на уроке мы приведём общую схему исследования свойств функции с помощью её производной. Будем строить график функции, используя результаты исследования.

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что на предыдущих занятиях мы рассмотрели применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функций. Выяснили, какие точки называют точками максимума функции и точками минимума функции. Научились находить эти точки и значения функции в них. Сегодня на уроке мы применим эти знания к построению графиков функций.

Давайте начнём с примера. Итак, постройте график функции .

Полученные результаты исследования функции удобно записать в виде следующей таблице.

В первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. Во второй строке отмечены знаки производной на этих промежутках. В третьей строке записаны выводы о ходе изменения данной функции, в четвёртой строке – о виде критических точек.

При построении графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат.

Построим график функции.

Получается, что для построения графика функции сначала исследуют свойства этой функции с помощью её производной.

Давайте приведём схему исследования свойств функции с помощью её производной.

Итак, при исследовании свойств функции надо найти:

1) область определения; производную; стационарные точки;

2) промежутки возрастания и убывания;

3) точки экстремума и значения функции в этих точках.

Результаты исследования удобно записать в виде таблицы, используя которую, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки пересечения с осями координат. Также можно найти координаты ещё нескольких точек графика.

Отметим, что для построения графика чётной (нечётной) функции достаточно исследовать свойства и построить её график при , а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат).

Давайте построим график функции .

Полученные результаты исследования запишем в виде таблицы.

Найдём значение функции в точке – крайней точке рассматриваемого интервала. .

Построим график функции.

Так как рассматриваемая функция является нечётной, то её график при строим с помощью симметрии относительно начала координат.

Часто встречаются задачи, в которых требуется исследовать функцию не на всей области определения, а на некотором промежутке.

Давайте построим график функции на отрезке .

Запишем полученные результаты исследования функции в виде таблицы.

Получается, что график функции не пересекает ось абсцисс.

Источник

Производная функции. Геометрический смысл производной

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Покажем, как найти с помощью графика.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных.

Источник

Применение производной. Построение графиков с применением производных

Математика берет свои истоки со времен Античности. Благодаря ней архитектура, строительство и военное дело дали новый виток развития, достижения, которые были получены с помощью математики, привели к движению прогресса. И по сей день математика остается главной наукой, которая встречается во всех остальных отраслях.

Применение производной к исследованию функции

Область определения и нули функции

Нули функции находятся простым способом: функцию f(x) следует приравнивнять к нулю и решить полученное уравнение относительно одной переменной x. Полученные корни уравнения являются нулями функции, то есть в этих x функция равна 0.

Возрастание и убывание

Касательная и угловой коэффициент

Геометрический смысл производной: производная функции f(x) равняется угловому коэффициенту образованной касательной к графику этой функции в данной точке x. Угловой коэффициент, в свою очередь, равняется тангенсу угла наклона касательной к оси ОХ (абсцисс) в положительном направлении. Это следствие является основополагающим к применению производной к графику функции.

Точки экстремума

Применение производной к исследованию включает в себя нахождение точек максимума и минимума.

Для того чтобы найти и определить точки минимума и максимума, необходимо:

Чтобы найти экстремумы функции:

Выпуклости и вогнутости

Определить выпуклость и вогнутость можно, прибегая к применению производной для построения графиков:

Точка, которая разделяет выпуклость и вогнутость, называется точкой перегиба функции.

Чтобы найти точки перегиба:

Частные производные

Производная в физике

С помощью применения производной находятся такие величины:

Производная в химии и биологии

Производная в географии и экономике

Производная позволяет географам решать такие задачи, как нахождение численности населения, вычислять значения в сейсмографии, рассчитать радиоактивность ядерно-геофизических показателей, вычислить интерполяцию.

В экономике важную часть расчетов занимает дифференциальное исчисление и вычисление производной. В первую очередь это позволяет определить пределы необходимых экономических величин. Например, наибольшую и наименьшую производительность труда, издержки, прибыль. В основном эти величины рассчитываются по графикам функций, где находят экстремумы, определяют монотонность функции на нужном участке.

Заключение

Источник

График производной функции

Консультации по выполнению всех типов работ

График производной функции — описание

Зависимость производной функции от скорости изменения y заключается в том, что они прямо пропорциональны. Значение производной может быть как больше, так и меньше нуля. Производную функции используют для нахождения точек максимума и минимума функций, а также промежутков их возрастания и убывания.

При помощи вычисления производной и приравнивания её к нулю, возможно найти точки, разбивающие числовую ось на интервалы. Знак производной будет определяться на каждом из найденных интервалов, что позволит сделать в дальнейшем сделать вывод о возрастании или убывании функции.

Свойства графика

Знак производной на интервалах возрастания

Определим, какая функция называется возвращающей.

На интервалах возрастания производная будет иметь положительный знак. То есть при подстановке значения из интервала в производную, получившееся число будет положительным.

Знак производной на интервалах убывания

Определим, какая функция называется убывающей.

На интервалах убывания производная будет иметь отрицательный знак. То есть при подстановке значения из интервала в производную, получившееся число будет отрицательным.

Производная и угловой коэффициент касательной

Касательная — прямая, которая имеет на определенном участке единственную общую точку с графиком.

Геометрический смысл производной состоит в том, что производная в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции \(y = f(x)\) в этой точке.

Формула уравнения касательной к графику функции \(y = f(x)\) в точке \(x_0\) выглядит следующим образом:

Используем уравнение касательной

В каких точках производная равна нулю

Производная будет эквивалентна нулю в точках минимума, максимума и перегиба, при параллельной оси \(ОX\) касательной. Рассмотрим следующий рисунок:

Очевидно, что в точках \(C\) и \(D\) касательная горизонтальна, тогда тангенс угла ее наклона будет равняться 0. Отсюда можно сделать вывод, что и производная равна 0. Точка C здесь будет являться точкой максимума. В этой точке возрастание функции изменяется на убывание, как меняется и знак производной — с плюса на минус. Точка \(D\) здесь — точка минимума. В это случае также происходят изменения, но в обратном порядке.

Важно отметить, что производная может не существовать в точке максимума. Такое происходит, если на графике изображен резкий излом, к которому невозможно провести касательную.

Рассмотрим еще одно изображение функции:

На данном рисунке очевидно, что производная функции f(x) эквивалентна нулю в точках максимума и минимума, то есть в точках −2; −1; 1; 4 и 6. Таким образом производная равна нулю в 5 точках.

Примеры производной на графике функции

Получите помощь лучших авторов по вашей теме

Источник

Применение графика производной к исследованию свойств функции

Разделы: Математика

Единый государственный экзамен по математике, обязательный для каждого ученика, требует серьезной перестройки учительского труда. Надо не только повторить с учащимися весь материал, но и научить их применять полученные знания в новой, незнакомой ситуации. И это касается не только заданий части С.

В Стандарте большое внимание уделяется формированию у учащихся умений использовать приобретённые умения и знания по всем изучаемым темам в практической деятельности и повседневной жизни. В частности, это касается темы «Функции и графики». Не зря авторы контрольно-измерительных материалов уделяют большое внимание проверке умений читать по графику свойства функции, применять свойства функций при решении задач повышенного и высокого уровней сложности. Одним из таких заданий является задание В8, в котором из года в год предлагается по графику производной описать особенности поведения функции и по графику функции дать характеристику ее производной. Для того чтобы подготовить учащихся к решению данного задания, необходимо провести цикл уроков. Данный урок (рассчитанный на 2 часа) – первый из этого цикла.

Учебник: Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала анализа 11 класс – М.: Просвещение, 2010.

Цели:

Тип урока: совершенствование и углубление знаний, умений и навыков.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщение учащимся цели урока: научиться по графику производной исследовать свойства функции,

Учитель: Мы заканчиваем изучение темы « Применение производной к исследованию функций». Наша цель сегодня – научиться исследовать функцию по графику её производной. Этой темы нет в наших учебниках, но в ЕГЭ задания такого типа повторяются из года в год, причём формулировки вопросов постоянно изменяются.

II. Актуализация субъектного опыта учащихся

По следующим данным, приведённым в таблице, охарактеризуйте поведение функции.

III. Проверка домашней работы

Построить графики функций и их производных в одной системе координат:

(графики данных функций выведены на экран)

Для графика функции заполнить таблицу по схеме.

Учитель: По построенному графику производной исследуем свойства функции. Заполняется третий столбец таблицы.

Графики заранее построены на доске, ученики сверяют правильность построения.

Схема исследования свойств функции:

В процессе решения ученики находят области определения функций и выясняют, что D(y) и D(y΄) не всегда совпадают (пример 6).

2. На рисунках изображены графики функций (нижний ряд) и графики их производных. Для каждой функции найдите график её производной. (А – 2, Б – 5, В – 3, Г – 1, Д – 4)

V. Практическая работа.

Функция y=f(x) определена на промежутке (а;b). На рисунке изображён график её производной. Построить на заданном промежутке (a;b) график функции.

Ученики выполняют задание на листках, а затем на доске.

Учитель: Сколько графиков можно построить?

Вывод. По заданному графику производной можно построить только эскиз графика функции.

VI. Групповая работа.

Для каждой группы указан график производной некоторой функции. Составить рассказ о функции.

VII. Работа индивидуально, в парах или группе.

Учитель: Следующие два задания вы можете выполнять индивидуально, в парах или группе.

Функция y=f(x) определена на промежутке (-8; 5). На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x₀, в которой функция y=f(x) принимает наибольшее значение на отрезке [-6;3].

Функция y=f(x) определена на промежутке (-4; 7). На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x₀, в которой функция y=f(x) принимает наименьшее значение на отрезке [-3;4].

Ответы, предложенные учениками, обсуждаются, в случае неверных ответов, выясняется, почему была допущена ошибка, что вызвало затруднения.

Учитель. Подумайте, какие вопросы, ещё можно задать по графику производной. (Найти наибольшую (наименьшую) длину промежутка возрастания (убывания) функции; указать на указанном промежутке сумму абсцисс точек экстремумов функции; найти число точек максимума; найти точку x₀, в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение).

VIII. Дополнительные вопросы.

Учитель: Что ещё можно найти по графику производной? (Угловой коэффициент касательной, тангенс угла наклона к положительному направлению оси 0Х).

Дополнительные вопросы учащимся по предложенным графикам:

IX. Подведение итогов.

Учитель. Что вы можете сказать о свойствах функции, читая график ее производной?

Источник