Чем больше длина тем больше колебаний

Гармонические колебания

9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение характеризуется величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Формула периода колебаний

T = t/N

N — количество колебаний [-]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

N — количество колебаний [-]

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:

Уравнение гармонических колебаний

x — координата в момент времени t [м]

t — момент времени [с]

2πνtв этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

Фаза колебаний

t — момент времени [с]

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника

g — ускорение свободного падения [м/с^2]

На планете Земля g = 9,8 м/с2

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника

m — масса маятника [кг]

k — жесткость пружины [Н/м]

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.

Рассмотрим его на примере математического маятника.

Источник

Урок физики по теме: «Период и частота гармонических колебаний»

Разделы: Физика

Тип урока: изучение нового материала.

Форма организации урока: фронтальная, групповая и индивидуальная.

Методы: теоретический и экспериментальный.

Цели урока:

Сценарий урока

Организационный момент:

Учитель: Добрый день. Сегодня ми продолжаем изучать тему “Механические колебания”. На прошлых уроках мы рассмотрели, какие процессы можно назвать колебательными. Какие движения называют механическими колебаниями и провели классификацию колебаний. Вспомните, какие основные виды механических колебаний нам известны?

Ученики: Свободные, вынужденные и автоколебания.

Учитель: Кроме того, на прошлых уроках мы, воспользовавшись законами механики Ньютона, получили уравнения движения груза, подвешенного на пружине и математического маятника. А так же выяснили, какие колебания называют гармоническими, затухающими и вынужденными.

Сегодня мы продолжим изучение механических колебаний. Но сначала вспомним, что мы уже узнали о механических колебаниях.

1. Актуализация знаний:

Проводится в виде взаимного опроса учащихся. При этом сначала задают вопросы ученики, сидящие на первом варианте своему соседу по парте, затем они меняются ролями. Таким образом, в опросе участвуют все учащиеся класса, и каждый из них проговаривает основные понятия. (Система проведения взаимного опроса отработана на предыдущих уроках и не нова для учащихся.)

Вопросы для взаимного опроса:

2. Какую физическую величину называют амплитудой колебаний?

3. Какую физическую величину называют частотой колебаний?

4. Под действием, каких сил происходят колебания в пружинном маятнике?

5. В каких точках траектории колеблющегося тела скорость равна нулю?

6. В каких точках траектории колеблющееся тело обладает только кинетической энергией?

7. Какие колебания называют свободными?

8. Какие колебания называют затухающими?

2. Организация деятельности учащихся:

а) Мотивация.

“Период и частота гармонических колебаний”.

б) Организация деятельности учащихся по созданию знания.

Учитель: Колебательное движение – движение периодическое, поэтому нужно получить формулу для вычисления периода колебаний. Цель сегодняшнего урока – выяснить от чего зависит период и частота колебаний пружинного и математического маятника. Рассмотрим пружинный маятник. Как вы думаете?

Ученик: Мне кажется, что период колебания пружинного маятника зависит от массы груза.

Учитель: Запишем эту гипотезу под № 1. Какие ещё будут предложения?

Ученик: А мне кажется, что период колебаний будет зависеть от того, какая пружина.

Учитель: Точнее от её жёсткости. Запишем эту гипотезу под № 2. Есть ещё предложения?

Ученик: А я думаю, что период будет зависеть от того, насколько пружина была растянута в начальный момент времени.

Учитель: Значит от амплитуды колебаний. Запишем эту гипотезу под № 3. Будут ли ещё предложения? Перейдём к грузу, подвешенному на нити. Как вы думаете, от чего зависит период колебаний этого маятника?

Учитель: Итак, у нас есть шесть гипотез. Нам надо все их проверить. Для этого класс разделится на 4 исследовательские группы: две первые группы – это “Теоретики”, а две вторые группы – “Экспериментаторы”. Каждая группа разрабатывает только одну познавательную задачу. Давайте уясним, что нужно сделать каждой исследовательской группе.

Класс разбивается на группы учителем с учётом индивидуальных особенностей учащихся, в каждой группе выбирается капитан и докладчик. Каждой группе выдаётся карточка с письменным заданием.

“Теоретики” объединяются в два круга и выводят формулу сначала на листочке, а затем делают аккуратную запись последовательного вывода на кодоплёнке специальными маркерами. Готовят докладчика.

“Экспериментаторы” получают карточки, на которых сформулирована цель и предмет деятельности. От учащихся требуется выполнить самостоятельно следующую деятельность:

После чего капитан разбивает на пары свою команду и каждая из них и исследует свои гипотезы на специально подготовленном лабораторном оборудовании.

Пример карточки-задания для каждой подгруппы “Экспериментаторов”. Правая часть заполняется учениками.

в) Обсуждение результатов.

Сначала выступает группа “Экспериментаторов” № 1, делая вывод на основе своих исследований. На доске появляется запись:

Период колебаний пружинного маятника.

1. Чем больше масса груза, тем больше период его колебаний: Т

2. Чем больше жёсткость пружины, тем меньше период колебаний: Т

3. Период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды.

Затем проецируется кодоплёнка группы “Теоретиков” №1, которые делают теоретический вывод формулы колебаний пружинного маятника с пояснениями. На доске появляется запись:

Учитель: Давайте вспомним, как связаны между собой период и частота колебаний маятников?

Ученик: Частота – это величина обратная периоду колебаний:

На доске появляется запись:

Учитель: Мы установили экспериментально и получили теоретически зависимость периода и частоты колебаний от параметров самой колебательной системы. Подведём итог.

На доске появляется запись:

Вывод: Период и частота колебаний пружинного маятника зависит только от параметров колебательной системы: массы груза и жёсткости пружины.

После этого выступает группа “Экспериментаторов” № 2, делая вывод на основе своих исследований. На доске появляется запись:

Период колебаний математического маятника.

1. Период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.

2. Чем больше длина нити маятника, тем больше период колебаний: Т

3. Период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды.

Затем проецируется кодоплёнка группы “Теоретиков” №2, которые делают теоретический вывод формулы колебаний пружинного маятника с пояснениями. На доске появляется запись:

Вывод: Период и частота колебаний математического маятника зависит только от параметров колебательной системы: длины нити и ускорения свободного падения.

Учитель: Эта формула была впервые получена голландским учёным Х. Гюйгенсом, современником Ньютона. Зависимость периода колебаний от значения ускорения свободного падения используется на практике. Измеряя очень точно период колебания маятника, можно с большой точностью определить g. Ускорение свободного падения меняется с географической широтой. Но и на заданной широте оно не везде одинаково. В районах, где залегают плотные породы, ускорение свободного падения несколько больше. Этим пользуются при разведке полезных ископаемых.

г) Домашнее задание.

д) Формулирование физического суждения.

Учитель: Итак, рассмотрев обе колебательные системы, мы экспериментально доказали и получили теоретически две важные зависимости (обращается внимание на доску) и два важных вывода.

Посмотрев на них, мы можем сформулировать общий вывод. Каким он будет? Кто догадался?

На доске появляется запись:

Вывод: Период и частота колебаний любого маятника всегда зависит только от параметров колебательной системы.

3. Контрольный этап

Учитель: Теперь, изучив зависимости периодов и частоты колебаний маятников, вы легко решите следующие задачи-упражнения: (задачи-упражнения иллюстрируются на экране при помощи кодотранспаранта, или раздаются учащимся ксерокопии заданий по вариантам. ) Вам нужно выбрать № правильного ответа, записать его на листочке и сдать.

Задание 1 варианта: Выберите ситуации, в которых приведены правильные суждения:

Задание 2 варианта: Выберите ситуации, в которых приведены правильные суждения:

Если остаётся время, полезно разобрать правильные ответы фронтально, после того как учащиеся сдали свои работы.

Литература, используемая при подготовке к уроку:

Источник

Механические колебания и волны

Механические колебания – периодически повторяющееся перемещение материальной точки, при котором она движется по какой-либо траектории поочередно в двух противоположных направлениях относительно положения устойчивого равновесия.

Отличительными признаками колебательного движения являются:

Для существования механических колебаний необходимо:

Механические волны – это процесс распространения колебаний в упругой среде.

Виды волн

Поперечная волна представляет собой чередование горбов и впадин.
Поперечные волны возникают вследствие сдвига слоев среды относительно друг друга, поэтому они распространяются в твердых телах.

Продольная волна представляет собой чередование областей уплотнения и разряжения.
Продольные волны возникают из-за сжатия и разряжения среды, поэтому они могут возникать в жидких, твердых и газообразных средах.

Важно!
Механические волны не переносят вещество среды. Они переносят энергию, которая складывается из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии ее упругой деформации.

Гармонические колебания

Гармонические колебания – простейшие периодические колебания, при которых координата тела меняется по закону синуса или косинуса:

где ​ \( x \) ​ – координата тела – смещение тела от положения равновесия в данный момент времени; ​ \( A \) ​ – амплитуда колебаний; ​ \( \omega t+\varphi_0 \) ​ – фаза колебаний; ​ \( \omega \) ​ – циклическая частота; ​ \( \varphi_0 \) ​ – начальная фаза.

Если в начальный момент времени тело проходит положение равновесия, то колебания являются синусоидальными.

Если в начальный момент времени смещение тела совпадает с максимальным отклонением от положения равновесия, то колебания являются косинусоидальными.

Скорость гармонических колебаний
Скорость гармонических колебаний есть первая производная координаты по времени:

где ​ \( v \) ​ – мгновенное значение скорости, т. е. скорость в данный момент времени.

Амплитуда скорости – максимальное значение скорости колебаний, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Ускорение гармонических колебаний
Ускорение гармонических колебаний есть первая производная скорости по времени:

где ​ \( a \) ​ – мгновенное значение ускорения, т. е. ускорение в данный момент времени.

Амплитуда ускорения – максимальное значение ускорения, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Если тело совершает гармонические колебания, то сила, действующая на тело, тоже изменяется по гармоническому закону:

где ​ \( F \) ​ – мгновенное значение силы, действующей на тело, т. е. сила в данный момент времени.

Амплитуда силы – максимальное значение силы, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Тело, совершающее гармонические колебания, обладает кинетической или потенциальной энергией:

где ​ \( W_k \) ​ – мгновенное значение кинетической энергии, т. е. кинетическая энергия в данный момент времени.

Амплитуда кинетической энергии – максимальное значение кинетической энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

При гармонических колебаниях каждую четверть периода происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
В положении равновесия:

При максимальном отклонении от положения равновесия:

Полная механическая энергия гармонических колебаний
При гармонических колебаниях полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий в данный момент времени:

Важно!
Следует помнить, что период колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза меньше, чем период колебаний координаты, скорости, ускорения и силы. А частота колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза больше, чем частота колебаний координаты, скорости, ускорения и силы.

Графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергий всегда лежат выше оси времени.

Если сила сопротивления отсутствует, то полная энергия сохраняется. График зависимости полной энергии от времени есть прямая, параллельная оси времени (в отсутствие сил трения).

Амплитуда и фаза колебаний

Амплитуда колебаний – модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.
Обозначение – ​ \( A\, (X_) \) ​, единицы измерения – м.

Фаза колебаний – это величина, которая определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.
Обозначение – ​ \( \varphi \) ​, единицы измерения – рад (радиан).

Фаза колебаний – это величина, стоящая под знаком синуса или косинуса. Она показывает, какая часть периода прошла от начала колебаний.
Фаза гармонических колебаний в процессе колебаний изменяется.
​ \( \varphi_0 \) ​ – начальная фаза колебаний.
Начальная фаза колебаний – величина, которая определяет положение тела в начальный момент времени.

Важно!
Путь, пройденный телом за одно полное колебание, равен четырем амплитудам.

Период колебаний

Период колебаний – это время одного полного колебания.
Обозначение – ​ \( T \) ​, единицы измерения – с.

Период гармонических колебаний – постоянная величина.

Частота колебаний

1 Гц – это частота такого колебательного движения, при котором за каждую секунду совершается одно полное колебание:

Период и частота колебаний – взаимно обратные величины:

Циклическая частота – это число колебаний за 2π секунд.
Обозначение – ​ \( \omega \) ​, единицы измерения – рад/с.

Свободные колебания (математический и пружинный маятники)

Свободные колебания – колебания, которые совершает тело под действием внутренних сил системы за счет начального запаса энергии после того как его вывели из положения устойчивого равновесия.

Условия возникновения свободных колебаний:

При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.
Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.

Период колебаний математического маятника:

Частота колебаний математического маятника:

Циклическая частота колебаний математического маятника:

Максимальное значение скорости колебаний математического маятника:

Максимальное значение ускорения колебаний математического маятника:

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вверх с ускорением или вниз с замедлением:

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вниз с ускорением или вверх с замедлением:

Период свободных колебаний математического маятника, горизонтально с ускорением или замедлением:

Мгновенное значение потенциальной энергии математического маятника, поднявшегося в процессе колебаний на высоту ​ \( h \) ​, определяется по формуле:

где ​ \( l \) ​ – длина нити, ​ \( \alpha \) ​ – угол отклонения от вертикали.

Пружинный маятник – это тело, подвешенное на пружине и совершающее колебания вдоль вертикальной или горизонтальной оси под действием силы упругости пружины.

Период колебаний пружинного маятника:

Частота колебаний пружинного маятника:

Циклическая частота колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение скорости колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение ускорения колебаний пружинного маятника:

Мгновенную потенциальную энергию пружинного маятника можно найти по формуле:

Амплитуда потенциальной энергии – максимальное значение потенциальной энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Важно!
Если маятник не является ни пружинным, ни математическим (физический маятник), то его циклическую частоту, период и частоту колебаний по формулам, применимым к математическому и пружинному маятнику, рассчитать нельзя. В данном случае эти величины рассчитываются из формулы силы, действующей на маятник, или из формул энергий.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы.

Вынужденные колебания, происходящие под действием гармонически изменяющейся внешней силы, тоже являются гармоническими и незатухающими. Их частота равна частоте внешней силы и называется частотой вынужденных колебаний.

Резонанс

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды колебаний, которое происходит при совпадении частоты вынуждающей силы и собственной частоты колебаний тела.

​ \( v_0 \) ​ – собственная частота колебаний маятника.

На рисунке изображены резонансные кривые для сред с разным трением. Чем меньше трение, тем выше и острее резонансная кривая.

Явление резонанса учитывается при периодически изменяющихся нагрузках в машинах и различных сооружениях.
Также резонанс используется в акустике, радиотехнике и т. д.

Длина волны

Длина волны – это расстояние, на которое волна распространяется за один период, т. е. это кратчайшее расстояние между двумя точками среды, колеблющимися в одинаковых фазах.
Обозначение – ​ \( \lambda \) ​, единицы измерения – м.

Расстояние между соседними гребнями или впадинами в поперечной волне и между соседними сгущениями или разряжениями в продольной волне равно длине волны.

Скорость распространения волны – это скорость перемещения горбов и впадин в поперечной волне и сгущений или разряжений в продольной волне.

Звук – это колебания упругой среды, воспринимаемые органом слуха.

Условия, необходимые для возникновения и ощущения звука:

Звуковые волны – это упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука, представляющие собой зоны сжатия и разряжения, передающиеся на расстояние с течением времени.

Классификация звуковых волн:

Скорость звука – это скорость распространения фазы колебания, т. е. области сжатия и разряжения среды.

Скорость звука зависит

в воздухе – 331 м/с, в воде – 1400 м/с, в металле – 5000 м/с;

в воздухе при температуре 0°С – 331 м/с,
в воздухе при температуре +15°С – 340 м/с.

Характеристики звуковой волны

Музыкальный звук – это звук, издаваемый гармонически колеблющимся телом. Каждому музыкальному тону соответствует определенная длина и частота звуковой волны.
Шум – хаотическая смесь тонов.

Источник