Чем больше угловой коэффициент тем больше угол
Угловой коэффициент.
Угловой коэффициент— коэффициент k в уравнении прямой на плоскости y = kx + b. Он численно равняется тангенсу угла между выбранной прямой и осью 0х. Этот угол отсчитывается от положительного направления оси 0х до прямой против хода часовой стрелки и располагается и пределах от 0 до 180 градусов.
Для обозначения углового коэффициента употребляют латинский символ k. И, основываясь на определении получаем:
Когда прямая параллельна оси 0х или совпадает с ней, то угол ее наклона расценивают, как равный нулю.
Когда прямая параллельна оси 0у, то угловой коэффициент отсутствует и принято указывать, что угловой коэффициент обращается в бесконечность.
Положительный угловой коэффициент прямой свидетельствует о росте графика функции, отрицательный угловой коэффициент – об убывании.
Угловой коэффициент прямой так же есть возможность вычислить, когда установлены координаты двух произвольных точек прямой:
Тогда, в образовавшемся прямоугольном треугольнике M1РM2 вычисляем тангенс:
Линейная функция
Линейная функция — функция вида График линейной функции — прямая.
Для построения графика линейной функции достаточно двух точек — потому что через две несовпадающие точки всегда можно провести прямую, причем единственную.
Угловой коэффициент прямой
Величина k в формуле линейной функции называется угловым коэффициентом прямой
Угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона графика линейной функции к положительному направлению оси Х.
Пусть Чем больше k, тем круче вверх идет график функции.
Заметим, что прямая (также изображенная на рисунке) не является графиком функции в нашем обычном, школьном смысле слова. В самом деле — мы помним, что функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу множества Х соответствует один и только один элемент множества Y.
Для прямой это не выполняется: значению соответствует бесконечно много значений у.
Если прямые параллельны.
При этом, чем больше b, тем выше расположен на координатной плоскости график функции.
Например, прямые и параллельны. Их угловые коэффициенты равны.
Если прямые перпендикулярны. Например, прямые и пересекаются под прямым углом. Произведение их угловых коэффициентов равно — 1.
Построение графика линейной функции
График линейной функции построить легко — достаточно двух точек.
Оказывается, что привычный нам вид уравнения прямой — не единственно возможный.
Уравнение прямой можно записать также в виде
Построим, например, прямую, заданную уравнением
Значит, наша прямая проходит через точки и
Зачем изучать линейную функцию?
Дело в том, что многие зависимости в природе и технике описываются формулой виде
Например, закон Ома для участка цепи: Напряжение U прямо пропорционально силе тока I.
Обратите внимание, что в формулу линейной функции аргумент х входит в первой степени. Мы просто умножаем х на угловой коэффициент k и прибавляем b.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: теория, примеры, решение задач
Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.
Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой
Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси О х с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат О х на плоскости.
Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.
Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.
Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.
Уравнение с угловым коэффициентом
Ответ: М 1 принадлежит прямой, а М 2 нет.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку
Решение
Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно
Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида y = k · x + b не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.
Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:
Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:
Решим задачу обратную данной.
Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:
Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:
Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.
Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:
График линейной функции, его свойства и формулы
Понятие функции
Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».
| Функция | Коэффициент «k» | Коэффициент «b» |
|---|---|---|
| y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
| y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
| y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
| y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».
Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!
Свойства линейной функции
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1 /3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.
В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).
В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.
Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.
При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.
Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.
Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
Угловой коэффициент прямой
Что такое угловой коэффициент прямой? Если представить прямую, проходящую через две точки в прямоугольной системе координат (ОX, OY), то тангенс угла, образованного осью ОX и прямой – угловой коэффициент заданной прямой.
Например, угловой коэффициент прямой (а), проходящей через точки А (X1, Y1) и В (X2, Y2) будет равняться тангенсу (tg) треугольника, гипотенузой которого будет прямая (а) или отрезок АВ.
Таким образом можно узнать угол наклона прямой (а) к оси абсцисс ОХ. Угол определяется между осью ОХ и прямой (а) в направлении против часовой стрелки. То есть, если коэффициент наклона больше нуля (k›0), то угол наклона тупой. Если коэффициент наклона меньше нуля (k‹0), то угол наклона острый. Если коэффициент (k) равен нулю, то прямая (а) расположена параллельно оси ОХ. Если коэффициент (k) не существует – определяется в бесконечность – значит, прямая (а) расположена в системе координат параллельно оси OY.
Рассчитать угловой коэффициент можно с помощью онлайн калькулятора. Стоит всего лишь подставить данные точек в системе координат, через которые проходит заданная прямая, и калькулятор рассчитает угловой коэффициент. Подставив значения в уравнение прямой с угловым коэффициентом, можно определить – принадлежит ли некая произвольно заданная точка в системе координат данной прямой.