Чем больше угол тем косинус
Инструменты пользователя
Инструменты сайта
Боковая панель
Навигация
Загрузки всякие
Связь
Содержание
Синус, косинус, тангенс острого угла
Тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника.
Основное тригонометрическое тождество
Если мы возьмем гипотенузу, равную 1, то это определение можно упростить до:
Тогда теорему Пифагора можно переформулировать так:
$$(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1$$
Или другая форма записи без скобок:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
Формулы приведения для острого угла
Возрастание и убывание
Чем больше один из острых углов прямоугольного треугольника, тем меньше другой. Отсюда следует, с учетом ОТТ, для этих углов:
Мнемоническое правило
Правило для косинуса
Синусу не остается ничего другого, кроме «противолежать».
«Длинный» косинус в паре с «коротким» прилежащим катетом, «короткий» синус в паре с «длинным» противолежащим катетом.
Правило для ОТТ
В семье Синичкиных (Sin) праздник. К ним в отпуск приезжает дочка с мужем, семья Косичкиных (Cos). Вот двое Синичкиных радостно бегут навстречу Косичкиным. Они обнимаются (+). И образуют одну большую семью: 1.
Синус в строительстве
Возьмите 10-метровый столб и поднимите его с земли на 45 градусов. Верхушка столба будет находиться на высоте
А 8-метровый столб будет на высоте
Подобные манипуляции со столбами очень полезны в строительстве (пирамиды сами себя не рассчитают). К сожалению, спустя тысячи лет у нас твердо закрепилась мысль, что смысл синуса в возможности вычислить высоту треугольника по гипотенузе и углу. Для краткости мыслительного процесса думаем «синус=высота». Это нормально, главное не застревать на этом, а смотреть шире.
Расчеты в Excel
Пусть известно расстояние до дерева. Нужно узнать его высоту:
Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = Противолежащий катет гипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos α = Прилежащий катет гипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет
tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C
ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B
tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B
ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C
Тригонометрия: Тригонометрический круг
Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :
cos α = O B O A = O B 1 = O B
sin α = A B O A = A B 1 = A B
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Основное тригонометрическое тождество
sin 2 α + cos 2 α = 1
Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :
A B 2 + O B 2 = O A 2
sin 2 α + cos 2 α = R 2
sin 2 α + cos 2 α = 1
Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
Тригонометрия: градусы и радианы
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Тригонометрия: Формулы приведения
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °
sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °
cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °
cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °
cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °
Рассмотрим тупой угол β :
Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin ( 180 ° − α ) = sin α
cos ( 180 ° − α ) = − cos α
tg ( 180 ° − α ) = − tg α
ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α
Тригонометрия: Теорема синусов
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C
Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R
Тригонометрия: Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
Это тема 10-11 классов.
Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!
Теорема косинусов и синусов
Формулировка и доказательство теоремы косинусов
Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Формула Теоремы Пифагора:
a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.
К полученному выражению прибавим и отнимем квадрат второго катета:
Но так как b = c * cos α, то
Эту формулу мы получили для катетов в прямоугольном треугольнике, но аналогичная связь между стороной а и косинусом противолежащего угла справедлива и для произвольного треугольника.
Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Формула теоремы косинусов:
В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:
В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).
cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.
Что и требовалось доказать.
Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.
Следствие из теоремы косинусов: теорему косинусов также можно использовать для определения косинуса угла треугольника:
Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.
Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
Приравниваем правые части уравнений:
Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.
Определим стороны b и c:
Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:
Таким образом, теорема косинусов обобщает теорему Пифагора. Закон косинуса может быть использован для любого вида треугольника.
Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов
Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:
Определение угла с помощью косинуса
А теперь обратим внимание на углы.
Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).
Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.
Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.
Примеры решения задач
При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.
Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.
∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.
Ещё немного о тригонометрии в вычислениях
На Хабре было уже много статей, посвящённых быстрым вычислениям тригонометрии, когда сильно надо, но я хотел бы дополнить их одной небольшой заметкой с отсылкой к школьной тригонометрии.
Иногда может не быть аппаратной реализации тригонометрии, иногда могут быть иные причины, чтобы изобретать методы ускорения вычисления.
Математика
Давайте вспомним некоторые простые формулы из школьного курса.
Начнём с простых:
(1)
Косинус/синус любого угла может быть приведён к аргументу в диапазоне от 0° до 45°, используя формулы первой группы.
Для малых углов тригонометрические функции могут быть сведены к асимптотическим разложениям, если отбрасываемые члены заведомо выходят за разрядную сетку.
Все промежуточные углы могут быть получены суммированием больших углов с некоторым шагом (а для них тригонометрию можно считать таблично), и остатков, которые рано или поздно дадут линейное разложение.
Применение
Дальше нужно будет выбрать шаг таблиц исходя из того, как мы хотим распределить вычисления, показатель степени 11 мы разделим на несколько частей. Например, можно разбить его на две части: 11=6+5, тогда нам понадобятся две таблицы размером 64 и 32 записи (итого 96), или на три части: 11=4+4+3 (размер таблиц 16+16+8=40 записей), но будет больше операций умножения — конкретный выбор будет зависеть от задачи и располагаемых ресурсов.
Ремарка: запись в таблице — это пара синус и косинус аргумента. Если храним с одинарной точностью, то размер записи 8 байт.
Пример
Давайте для примера возьмём разложение 4+4+3, а потом обобщим.
Шаг 1. Приведём аргумент x к нашей шкале, поделив его на константу pi/4 (назовём его x’ ).
[предположим для примера, что получился синус]
Шаг 3. Воспользуемся таблицами (напомню, что их 3), при этом индексами в таблице будут «битовые поля» в двоичном представлении аргумента x» — первые 4 бита после запятой, потом ещё 4, и ещё 3, а оставшиеся не при делах биты пойдут в остаток.
Табличные синус назовём S1, S2, S3, табличные косинусы — C1, C2, C3.
Шаг 4. Объединяем всё, что получилось:
Шаг 5. Если на шаге 2 мы сочли, что результат должен получиться отрицательным, то этот минус надо ввести в результат.
Заключение
Аналогичный подход может использоваться как для вычисления в вещественных числах любого размера, так и, например, для реализации специализированной арифметики с фиксированной запятой. Собственно, в своё время именно последняя задача меня и сподвигла поковыряться в эту сторону, но это было давно.
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол — меньший 90 градусов.
Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
Давайте докажем некоторые из них.
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
| 0 | |
| 0 | |
| 0 | |
| 0 | − |
| − | 0 |
Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
Задача решается за четыре секунды.
Найдем по теореме Пифагора.
Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.