Формулы сокращенного умножения что это такое и как пользоваться
Сокращенное умножение: правила, формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Формулы сокращенного умножения
Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.
Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.
Как читать формулы сокращенного умножения
Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:
Обучение на курсах по математике — дорога к хорошим оценкам в школе и высокому баллу на экзамене.
Доказательство формул сокращенного умножения
Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.
Бином Ньютона
Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:
Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:
ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.
Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых
Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.
Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Формула разности n-ых степеней двух слагаемых
a n − b n = (a − b) * (a n-1 + a n-2 * b + a n-3 * b 2 + … + a * b n-2 + b n-1 ).
Для четных показателей можно записать так:
a 2*m − b 2*m = (a 2 − b 2 ) *(a 2*m−2 + a 2*m−4 * b 2 + a 2*m−6 * b 4 + … + b 2*m−2 ).
Для нечетных показателей:
a 2*m+1 − b 2*·m+1 = (a − b) * (a 2*m + a 2*m−1 * b + a 2*m−2 * b 2 + … + b 2*m ).
Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.
Решение задач
Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.
Задание 1
Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10) 2 = 55 2 + 2 * 55 * 10 + 10 2 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.
Задание 2
Что сделать: упростить выражение 64 * с 3 – 8.
Как решаем: применим разность кубов: 64 * с 3 – 8 = (4 * с) 3 – 2 3 = (4 * с – 2)((4 * с) 2 + 4 * с * 2 + 2 2 ) = (4 * с – 2)(16 * с 2 + 8 * с + 4).
Задание 3
Как решаем:
Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂
Формулы сокращенного умножения с примерами
Формулами сокращенного умножения (ФСУ) называют несколько наиболее часто встречающихся в практике случаев умножения многочленов.
Квадрат суммы
А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:
Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.
Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.
На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:
Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы.
…и приведем подобные слагаемые.
Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.
Пример. Вычислите значение выражения \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) без калькулятора.
Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
Вот теперь вычислять гораздо приятнее!
Квадрат разности
Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для \((a-b)^2\):
В более краткой записи имеем:
Квадрат разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Применяется она также, как и предыдущая.
Пример. Упростите выражение \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) и найдите его значение при \(a=\frac<17><8>\).
Теперь приведем подобные слагаемые.
Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.
Разность квадратов
Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:
Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус!
Попробуем воспользоваться формулой.
Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.
Воспользуемся формулами степеней: \((a^n )^m=a^
Ну, а теперь пользуемся формулой \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), где \(a=5x^2\) и \(b=m^5 t^3\).
Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.
На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем).
Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).
Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке:
\(4xy\) запишем как \(2·x·2y\),
а \(4y^2\) как \((2y)^2\).
Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой \(a=x\), \(b=2y\). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как \(3\) в квадрате.
Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.
И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.
Формулы сокращённого умножения
Продолжаем изучать многочлены. В данном уроке мы научимся перемножать многочлены с помощью формул сокращённого умножения.
Квадрат суммы двух выражений
Выражение (2x + 3y) 2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (2x + 3y)
Получили умножение многочлена на многочлен. Выполним его:
То есть выражение (2x + 3y) 2 равно 4x 2 + 12xy + 9y 2
Решим аналогичный пример, который попроще:
Выражение (a + b) 2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (a + b)
Выполним это умножение:
То есть выражение (a + b) 2 равно a 2 + 2ab + b 2
Тождество (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 называют формулой квадрата суммы двух выражений. Эту формулу можно прочитать так:
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Первый способ:
Второй способ:
(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25
Пример 2. Преобразовать выражение (5a + 3) 2 в многочлен.
Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:
(5a + 3) 2 = (5a) 2 + 2 × 5a × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9
Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата суммы. У нас должен получиться тот же результат:
Формула квадрата суммы двух выражений имеет геометрический смысл. Мы помним, что для вычисления площади квадрата нужно возвести во вторую степень его сторону.
Рассмотрим следующий рисунок:
Получился новый квадрат, который больше предыдущего. Чтобы хорошо увидеть его, достроим отсутствующие стороны:
Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно по отдельности вычислить квадраты и прямоугольники, входящие в него, затем сложить полученные результаты.
В результате получается следующая сумма площадей:
Квадрат разности двух выражений
Формула квадрата разности двух выражений выглядит следующим образом:
Эту формулу можно прочитать так:
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Формула квадрата разности двух выражений выводится таким же образом, как и формула квадрата суммы двух выражений. Выражение (a − b) 2 представляет собой произведение двух многочленов, каждый из которых равен (a − b)
Если выполнить это умножение, то получится многочлен a 2 − 2ab + b 2
Пример 1. Преобразовать выражение (7x − 5) 2 в многочлен.
Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:
(7x − 5) 2 = (7x) 2 − 2 × 7x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25
Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата разности. У нас должен получиться тот же результат:
Рассмотрим следующий рисунок:
Тогда можно написать следующее выражение: старая площадь a 2 минус площадь ab минус площадь (a − b)b
Раскроем скобки в выражении (a − b)b
Приведем подобные слагаемые:
Формулы квадрата суммы и квадрата разности в общем называют формулами сокращённого умножения. Эти формулы позволяют значительно упростить и ускорить процесс перемножения многочленов.
Ранее мы говорили, что рассматривая член многочлена по отдельности, его нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним располагается.
Но применяя формулы сокращённого умножения, знак исходного многочлена не следует рассматривать в качестве знака самого этого члена.
и в таком случае нужно применять не формулу квадрата разности, а формулу квадрата суммы:
Куб суммы и куб разности
Формулы куба суммы двух выражений и куба разности двух выражений выглядят следующим образом:
Формулу куба суммы двух выражений можно прочитать так:
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
А формулу куба разности двух выражений можно прочитать так:
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
При решении задач желательно знать эти формулы наизусть. Если не запомнили — не беда! Их можно выводить самостоятельно. Мы это уже умеем.
Выведем формулу куба суммы самостоятельно:
Выражение (a + b) 3 представляет собой произведение из трёх многочленов, каждый из которых равен (a + b)
Но выражение (a + b) 3 также может быть записано как (a + b)(a + b) 2
А это есть умножение многочлена на многочлен. Выполним его:
Аналогично можно вывести формулу куба разности двух выражений:
Пример 1. Преобразуйте выражение (x + 1) 3 в многочлен.
Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:
(x + 1) 3 = x 3 + 3 × x 2 × 1 + 3 × x × 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Попробуем решить данный пример, не используя формулу куба суммы двух выражений. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:
Пример 2. Преобразовать выражение (6a 2 + 3b 3 ) 3 в многочлен.
Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:
(6a 2 + 3b 3 ) 3 = (6a 2 ) 3 + 3 × (6a 2 ) 2 × 3b 3 + 3 × 6a 2 × (3b 3 ) 2 + (3b 3 ) 3 = 216a 6 + 3 × 36a 4 × 3b 3 + 3 × 6a 2 × 9b 6 + 27b 9
Пример 3. Преобразовать выражение (n 2 − 3) 3 в многочлен.
Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:
(n 2 − 3) 3 = (n 2 ) 3 − 3 × (n 2 ) 2 × 3 + 3 × n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27
Пример 4. Преобразовать выражение (2x 2 − x 3 ) 3 в многочлен.
Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:
Умножение разности двух выражений на их сумму
Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на их сумму. Например:
В этом выражении разность двух выражений a и b умножена на сумму этих же двух выражений. Выполним данное умножение:
То есть выражение (a − b)(a + b) равно a 2 − b 2
Видим, что при умножении разности двух выражений на их сумму, получается разность квадратов этих выражений.
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
Пример 1. Выполнить умножение (2x − 5)(2x + 5)
В этом примере разность выражений 2x и 5 умножена на сумму этих же выражений. Тогда согласно формуле (a − b)(a + b) = a 2 − b 2 имеем:
Вычислим правую часть, получим 4x 2 − 25
Пример 2. Выполнить умножение (4x − 5y)(4x + 5y)
Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:
Пример 3. Выполнить умножение (2a + 3b)(2a − 3b)
Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:
В данном примере сумма членов 2a и 3b располагалась раньше, чем разность этих членов. А в формуле (a − b)(a + b) = a 2 − b 2 разность располагается раньше.
Пример 3. Выполнить умножение (7 + 3x)(3x − 7)
Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:
Пример 4. Выполнить умножение (x 2 − y 3 )(x 2 + y 3 )
Пример 5. Выполнить умножение (−5x − 3y)(5x − 3y)
Произведение (5x + 3y)(5x − 3y) заменим на разность квадратов:
Далее вычисляем выражение в скобках:
Теперь умножим −1 на выражение в скобках и получим окончательный результат:
Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы
Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на неполный квадрат их суммы. Выглядит это произведение следующим образом:
Первый многочлен (a − b) является разностью двух выражений, а второй многочлен (a 2 + ab + b 2 ) является неполным квадратом суммы этих двух выражений.
Итак, умножим разность (a − b) на неполный квадрат суммы a 2 + ab + b 2
Это тождество называют формулой умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Эту формулу можно прочитать так:
Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.
Пример 1. Выполнить умножение (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2 )
Пример 2. Выполнить умножение (3 − x)(9 + 3x + x 2 )
Первый многочлен (3 − x) является разностью двух выражений, а второй многочлен является неполным квадратом суммы этих двух выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3
Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности
Встречаются задачи, в которых требуется умножить сумму двух выражений на неполный квадрат их разности. Выглядит это произведение следующим образом:
Первый многочлен (a + b) является суммой двух выражений, а второй многочлен (a 2 − ab + b 2 ) является неполным квадратом разности этих двух выражений.
Вернёмся к изначальному примеру. Умножим сумму a + b на неполный квадрат разности a 2 − ab + b 2
Это тождество называют формулой умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Эту формулу можно прочитать так:
Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.
Пример 1. Выполнить умножение (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2 )
Пример 2. Выполнить умножение (2x + y)(4x 2 − 2xy + y 2 )
Первый многочлен (2x + y) является суммой двух выражений, а второй многочлен (4x 2 − 2xy + y 2 ) является неполным квадратом разности этих выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3
Формулы сокращенного умножения (ЕГЭ 2022)
Зачем нужны формулы сокращенного умножения?
С их помощью ты сможешь упростить выражение, привести многочлен к стандартному виду (без раскрытия скобок и приведения подобных)
Ты сможешь легко в уме находить квадраты больших чисел и, например, быстро проверить свои расчеты на экзамене.
Иными словами это сильно экономит время при решении самых разных задач!
В общем их стоит выучить. Начнем?
Формулы сокращенного умножения — коротко о главном
Формулы сокращенного умножения – это формулы, зная которые можно избежать выполнения некоторых стандартных действий при упрощении выражений или разложении многочленов на множители.
Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть!
Квадрат суммы
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
Название «Формулы сокращенного умножения» совсем не случайно, потому что эти формулы позволяют сократить время на умножение. Вот смотри…
Возьмем самую простую первую формулу квадрата суммы \( <<\left( a+b \right)>^<2>>\) — и попробуем возвести сумму в скобках в квадрат, то есть, умножить \( \left( a+b \right)\) само на себя:
Приведи подобные слагаемые и ты получишь формулу сокращенного умножения квадрат суммы:
Таким образом выводятся все формулы сокращенного умножения.
Ты можешь выводить их каждый раз самостоятельно, а можешь не тратить на это время и быстро посчитать необходимый пример, зная конечное значение формул.
Конечно, квадрат суммы посчитать вручную не так сложно, но что ты скажешь насчет куба суммы или куба разности?
Куб суммы означает, что необходимо \( \left( a+b \right)\) само умножить на себя три раза:
И это мы расписали перемножение только первой скобки, а тоже самое необходимо сделать со второй и с третьей… Согласись, запутаться очень легко, а, как правило, от того, как ты посчитаешь это простое действие, зависит ответ всего примера.
Таким образом, формулы сокращенного умножения позволяют сократить трудоемкое перемножение членов друг на друга и получить быстрый результат.
Как выводится формула для квадрата суммы, мы описали ранее. Попробуем произвести аналогичные действия с квадратом разности.
Квадрат разности
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
Квадрат разности означает умножить \( \left( a-b \right)\) само на себя. Попробуй вывести формулу для данного выражения самостоятельно, по аналогии с квадратом суммы.
Справился? Посмотрим, как ты раскрыл скобки:
Что мы делаем дальше? Правильно, приводим подобные слагаемые:
Ты наверняка уже заметил некую закономерность? Присмотрись внимательно к формулам квадрат суммы и квадрат разности. В чем их отличие?
Конечно, ты увидел, что если мы возводим в квадрат разность между \( a\) и \( b\), то мы вычитаем их удвоенное произведение, а если возводим в квадрат сумму, то прибавляем.
При возведении разности и суммы в квадрат, не забывай про удвоенное произведение чисел \( a\) и \( b\)!
Это грубейшая и самая распространенная ошибка!
Попробуй таким способом вычислить следующие выражения:
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Посчитай самостоятельно выражения:
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Подведем небольшой итог и запишем формулы квадрата суммы и разности в одну строку:
Допустим, у нас есть следующее выражение:
Мы знаем, что квадрат суммы (или разности) – это квадрат одного числа \( +\) квадрат другого числа и \( \pm \) удвоенное произведение этих чисел.
Так как во втором слагаемом есть \( b\), значит, это удвоенное произведение одного и другого числа, соответственно:
\( 24b=2\cdot 3b\cdot x\), где \( \displaystyle x\) – второе число, входящее в нашу скобку.
\( x=\frac<24b><6b>=4\). Второе число, входящее в скобку, равно \( \displaystyle 4\).
Проверим. \( \displaystyle 16\) должно быть равно \( <<4>^<2>>\). Действительно, так и есть, значит, мы нашли оба числа, присутствующие в скобках: \( 4\) и \( 3b\). Осталось определить знак, который стоит между ними. Как ты думаешь, что за знак там будет?
Правильно! Так как мы прибавляем удвоенное произведение, то между числами будет стоять знак сложения. Теперь запиши преобразованное выражение. Справился? У тебя должно получиться следующее:
Заметь: перемена мест слагаемых не сказывается на результате (неважно, сложение или вычитание стоит между \( a\) и \( b\)).
Совершенно необязательно, чтобы слагаемые в преобразуемом выражении стояли так, как написано в формуле.
Посмотри на это выражение: \( 12b+9+4<^<2>>\). Попробуй преобразовать его самостоятельно. Получилось?
Потренируйся – преобразуй следующие выражения:
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Справился? Закрепим тему.
Выбери из приведенных ниже выражений те, которые можно представить в виде квадрата суммы или разности.
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Разность квадратов
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:
Еще одна формула сокращенного умножения – разность квадратов.
Разность квадратов — это не квадрат разности!
Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность
Проверим, верна ли эта формула. Для этого перемножим \( \left( a-b \right)\left( a+b \right)\), как делали при выведении формул квадрата суммы и разности:
Что мы делаем дальше? Правильно! Приводим подобные слагаемые и получаем:
Таким образом, мы только что удостоверились, что формула действительно верная. Данная формула также упрощает сложные вычислительные действия.
Необходимо вычислить: \( <<145>^<2>>-<<45>^<2>>\). Конечно, мы можем возвести в квадрат \( 145\), затем возвести в квадрат \( 45\) и вычесть одно из другого, но формула упрощает нам задачу:
\( <<145>^<2>>-<<45>^<2>>=\left( 145-45 \right)\cdot \left( 145+45 \right)=100\cdot 190=19000\)
Попробуй самостоятельно посчитать следующие выражения:
Получилось? Сверим результаты:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Так же, как и квадрат суммы (разности), формула разности квадратов может применяться не только с числами:
Умение раскладывать разность квадратов поможет нам преобразовывать сложные математические выражения.
Поскольку \( 3= <<\left( \sqrt<3>\right)>^<2>>\), при разложении на квадрат разности правого выражения мы получим
Будь внимателен и смотри, какое конкретное слагаемое возводится в квадрат!
Для закрепления темы преобразуй следующие выражения:
Записал? Сравним полученные выражения:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Теперь, когда ты усвоил квадрат суммы и квадрат разности, а также разность квадратов, попробуем решать примеры на комбинацию этих трех формул.
Квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов — задачи на комбинацию этих формул
Посмотри внимательно, что ты видишь в числителе? Правильно, числитель — это полный квадрат:
Упрощая выражение, помни, что подсказка, в какую сторону двигаться в упрощении, находится в знаменателе (или в числителе).
В нашем случае, когда знаменатель разложен, и больше ничего сделать нельзя, можно понять, что числителем будет либо квадрат суммы, либо квадрат разности.
Так как мы прибавляем \( 6ab\), то становится ясно, что числитель – квадрат суммы.
Попробуй самостоятельно преобразовать следующие выражения:
А теперь сверь результаты:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Куб суммы и куб разности
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения:
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения:
Формулы куба суммы и куба разности выводятся аналогичным образом, как квадрат суммы и квадрат разности: раскрытием скобок при перемножении членов друг на друга.
Если квадрат суммы и квадрат разности запомнить весьма легко, то возникает вопрос «как запомнить кубы?»
Посмотри внимательно на две описываемые формулы в сравнении с возведением аналогичных членов в квадрат:
Какую ты видишь закономерность?
Всё перечисленное, кроме зависимости степеней при умножении членов, изображено на рисунке.