Формулы сокращенного умножения что это

Формулы сокращённого умножения

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо « a » и « b » в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

Предостережение!

Квадрат разности

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

Куб суммы

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

Предостережение!

Куб разности

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков « + » и « − ». Перед первым членом « a 3 » стоит « + » (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять « − », затем опять « + » и т.д.

(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».

Источник

Формулы сокращенного умножения

Таблица формул сокращенного умножения

Примеры использования формул

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Пример: (x + 3y) 2 = x 2 + 2 ·x·3y + (3y) 2 = x 2 + 6xy + 9y 2

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

Пример: 9x 2 – 16y 2 = (3x) 2 – (4y) 2 = (3x – 4y)(3x + 4y)

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Пример: (x + 2y) 3 = x 3 + 3·x 2 ·2y + 3·x·(2y) 2 + (2n) 3 = x 3 + 6x 2 y + 12xy 2 + 8y 3

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 –ab+b 2 )

Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

Пример: 64x 3 – 8 = (4x) 3 – 2 3 = (4x – 2)((4x) 2 + 4x·2 + 2 2 ) = (4x – 2)(16x 2 + 8x + 4)

Формулы для квадратов

Формулы для кубов

Формулы для четвертой степени

В заданиях ЕГЭ по математике применяются формулы сокращенного умножения.

Источник

Формулы сокращенного умножения.

Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и многом другом. А значит будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

Четвертая (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3. Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Шестая х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 — ху + у 2 ) Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).

О существовании этих закономе рностей з нали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.

Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а 2 ”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник, заключенный между отрезками a и b”.

И так Евклид взял квадрат со стороной (a + b):

С другой стороны, этот же квадрат он представить иначе, разделив сторону на а и b:

Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:

И так как квадраты были одинаковы, то их площади равны, и это значит:

Таким образом, была доказана геометрически формула квадрата суммы.

Источник

Таблица формул сокращенного умножения 👍🐱‍💻

Формулы сокращённого умножения используются для возведения чисел в степень, а также умножения этих чисел и различных выражений. Не редко такие формулы сокращающего умножения помогают вычислять примеры быстрее и компактней.

Нас ищут по таким запросам:

В этой статье рассмотрим самые популярные формулы сокращённого умножения. Затем сгруппируем формулы в табличку и рассмотрим некоторые примеры использования формул сокращающего умножения.

Таблица №1. Примеры использования формул сокращающего умножения для 7 класса

Как сократить формулы сокращённого умножения?

Квадрат суммы двух чисел:

В алгебре приведение целого выражения к стандартному виду многочлена осуществляется с помощью формул сокращённого умножения.

(a + b) 2 = (a + b)(a + b)=a 2 + 2ab + b 2 = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (квадрат суммы двух чисел)

Выражение (a + b) 2 — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

т. е. квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

Многочлен a 2 + 2ab + b 2 называется разложением квадрата суммы.

Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.

Пример. Возвести в квадрат выражение 3x 2 + 2xy.

Решение: для того чтобы нам не производить лишних преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы двух чисел. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

А сейчас, используя правило умножения и возведения в степень одночленов, упростим это выражение:

Квадрат разности двух чисел:

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2 (квадрат разности двух чисел)

Выражение (a — b) 2 — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a — b) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a — b)(a — b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

Многочлен a 2 — 2ab + b 2 называется разложением квадрата разности.

Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

Пример. Представьте квадрат разности двух чисел в виде трёхчлена:

Решение: используя формулу квадрата разности двух чисел находим:

Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:

Разность квадратов двух чисел

a 2 — b 2 = (a + b)(a — b) (разность квадратов двух чисел)

Выражение a 2 — b 2 — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a 2 — b 2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

т. е. произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.

Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:

(5a 2 + 3)(5a 2 — 3) = (5a 2 ) 2 — 3 2 = 25a 4 — 9

В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:

При решении практических примеров в алгебре зачастую применяют формулы сокращённого умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители. На практике первые три формулы применяются как слева направо, так и справа налево, в зависимости от конкретной ситуации.

Формулы сокращённого умножения частенько называют тождествами сокращенного умножения. И здесь нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

Другие формулы сокращённого умножения:

(a + b — c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab — 2ac — 2bc

Куб суммы двух чисел

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (куб суммы двух чисел)

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа.

(a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Пример выражения:

a) (m + 2n) 3 = m 3 + 3·m 2 ·2n + 3·m·(2n) 2 + (2n) 3 = m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3

б) (3x + 2y) 3 = (3x) 3 + 3·(3x) 2 ·2y + 3·3x·(2y) 2 + (2y) 3 = 27x 3 + 54x 2 y + 36xy 2 + 8y 3

Куб разности двух чисел

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 (куб разности двух чисел)

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго числа минус куб второго числа.

Пример выражения:

Сумма кубов двух чисел

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 — ab + b 2 ) (сумма кубов)

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы самих чисел на неполный квадрат их разности.

a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 –ab+b 2 )

Пример выражения:

a) 125 + 8x 3 = 5 3 + (2x) 3 = (5 + 2x)(5 2 — 5·2x + (2x) 2 ) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x 2 )

б) (1 + 3m)(1 – 3m + 9m 2 ) = 1 3 + (3m) 3 = 1 + 27m 3

Разность кубов двух чисел

a 3 — b 3 = (a — b)(a 2 + ab + b 2 ) (разность кубов)

Разность кубов двух чисел равна произведению разности самих чисел на неполный квадрат их суммы.

Пример выражения:

а) 64с 3 – 8 = (4с) 3 – 2 3 = (4с – 2)((4с) 2 + 4с·2 + 2 2 ) = (4с – 2)(16с 2 + 8с + 4)

б) (3a – 5b)(9a 2 + 15ab + 25b 2 ) = (3a) 3 – (5b) 3 = 27a 3 – 125b 3

Формула для нахождения четвертой степени суммы двух чисел имеет вид:

(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

Формула для нахождения четвертой степени разности двух чисел имеет вид:

(a — b) 4 = a 4 — 4a 3 b + 6a 2 b 2 — 4ab 3 + b 4

Таблица формул сокращённого умножения для учеников 7 классов

Рассмотрим семь основных формул сокращённого умножения, которые изучают ученики на уроках алгебры в 7 классе:

Таблица формул сокращённого умножения

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел:

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа:

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа:

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа:

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа:

Выражение в алгебре принято называть неполным квадратом разности. Если умножить сумму двух чисел на неполный квадрат разности этих чисел, то получим формулу суммы кубов.

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их неполный квадрат разности:

Выражение в алгебре, принято называть неполным квадратом суммы. Если умножить разность двух чисел на неполный квадрат суммы этих чисел, то получим формулу разности кубов.

Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на их неполный квадрат суммы:

Группа формул: сумма степеней

Группа формул «Сумма степеней» составляет Таблицу 2. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:

Группу формул «сумма степеней» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.

Таблица 2. – Сумма степеней

Общая формула для вычисления суммы

с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.

Разность степеней

Таблица 3. – Разность степеней

Квадрат многочлена

Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена» :

Квадрат многочлена формула

Что бы возвести многочлен в квадрат необходимо сложить его члены в квадрате и удвоенные произведения его членов попарно взятых.

Примеры квадрата многочлена

Куб трёхчлена

Следующая формула называется «Куб трёхчлена» :

Источник

Формулы сокращенного умножения с примерами решения

Содержание:

Формулы сокращенного умножения

Умножение разности двух выражений на их сумму

Умножим разность

Полученное тождество позволяет умножать разность двух выражений на их сумму не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать произведение в виде Поэтому доказанное тождество называют формулой сокращенного умножения. Формулируют се так:

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Умножим по этому правилу разность на сумму

Из переместительного свойства умножения следует, что произведение суммы двух выражений и их разности равно разности квадратов этих выражений:

Примеры выполнения заданий:

Пример №135

Решение:

Пример №136

Вычислить

Решение:

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений

Возведем в квадрат сумму

Полученное тождество называют формулой квадрата суммы. Оно является формулой сокращенного умножения, поскольку позволяет возводить в квадрат сумму любых двух выражений не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать квадрат в виде трехчлена

Формулируют формулу квадрата суммы так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Возведем в квадрат сумму

При возведении суммы в квадрат промежуточные преобразования можно выполнять устно:

Квадрат разности двух выражений

Возведем в квадрат разность

Итак, получили такую формулу квадрата разности:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений еще называют квадратом двучлена.

Квадраты противоположных чисел равны: Поэтому при возведении в квадрат выражений и можно пользоваться формулами:

Для тех, кто хочет знать больше

Чтобы возвести сумму или разность двух выражений в куб, можно использовать формулы куба суммы или куба разности:

Докажем эти формулы.

Формулируют формулу куба суммы так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения.

Формулу куба разности формулируют аналогично.

Примеры выполнения заданий:

Пример №137

Возвести в квадрат выражение:

Решение:

Разложение на множители разности квадратов двух выражений

В тождестве поменяем местами левую и правую части:

Полученное тождество называют формулой разности квадратов двух выражений. Формулируют ее так:

Разность квадратов двух выражении равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Формула разности квадратов позволяет разложить на множители двучлена Ее можно использовать при разложении на множители разности квадратов любых двух выражений. Например:

Примеры выполнения заданий:

Пример №138

Разложить на множители:

Решение:

Пример №139

Вычислить

Решение:

Пример №140

Решить уравнение

Решение:

Разложение многочленов на множители с использованием формул квадрата суммы и квадрата разности

Запишем формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений (квадрата двучлена), поменяв в них левые и правые части:

Первая из этих формул дает разложение на множители трехчлена а вторая — трехчлена

Примеры выполнения заданий:

Пример №141

Разложить на множители трехчлен

Решение:

Пример №142

Найти значение выражения при

Решение:

Запишем сначала трехчлен в виде квадрата двучлена:

При получим:

При получим:

Разность и сумма кубов двух выражений

Разность квадратов двух выражений можно разложить на множители по формуле разности квадратов. При разложении на множители разности кубов двух выражений используют формулу разности кубов:

Докажем это тождество, перемножив выражения

В формуле разности кубов трехчлен называют неполным квадратом суммы выражений (он напоминает трехчлен который является «полным» квадратом суммы выражений ). Поэтому формулу разности кубов можно сформулировать так:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

При разложении на множители суммы кубов двух выражений используют формулу суммы кубов:

Докажем это тождество:

Трехчлен называют неполным квадратом разности выражений . Следовательно,

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Примеры выполнения заданий:

Пример №143

Разложить на множители:

Решение:

Применение нескольких способов для разложения многочленов на множители

Часто при разложении многочлена на множители нужно использовать несколько способов. Если это возможно, то разложение уместно начинать с вынесения общего множителя за скобки.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Разложим на множители многочлен

Сначала вынесли общий множитель за скобки, а потом применили формулу разности квадратов.

2. Разложим на множители многочлен

Все члены многочлена имеют общий множитель Вынесем eго за скобки:

Многочлен разложим на множители способом группировки:

Примеры выполнения заданий:

Пример №144

Разложить на множители трехчлен:

Решение:

а) Если к выражению прибавить то есть 9, то получим выражение, которое является квадратом двучлена

Поэтому, выделив квадрат этого двучлена, получим:

Пример №145

Разложить на множители многочлен

Решение:

Пример №146

Решить уравнение

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители:

откуда:

Ответ:

Применение преобразований выражений

Нам уже встречались задачи, при решении которых нужно было преобразовывать то или иное выражение. Чаще всего мы использовали преобразования выражений при решении уравнений, доказательстве тождеств, нахождении значений выражении. Рассмотрим еще некоторые задачи, решение которых связано с преобразованием выражений.

Сравнение значений многочлена с нулем

Пример №147

Доказать, что многочлен принимает только положительные значения.

Решение:

Выделив из трехчлена квадрат двучлена, получим:

Мы представили многочлен в виде суммы двух слагаемых Слагаемое : при любых принимает только неотрицательные значения, слагаемое 2 — положительно. Поэтому выражение принимает только положительные значения. Поскольку то и выражение принимает только положительные значения.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений выражений

Исходя из равенства полученного в примере 1, можно

указать наименьшее значение многочлена Оно равно причем это наименьшее значение многочлен принимает при

Пример №148

Найти наибольшее значение многочлена

Решение:

Преобразуем данный многочлен так:

Наибольшее значение многочлена равно 5.

Решение задач на делимость

Пример №149

Доказать, что значение выражения делится на 8 при любом целом значении

Решение:

Упростим данное выражение:

При любом целом значении произведение делится на 8, поэтому и значение выражения делится на 8.

Нахождение значений многочлена с помощью микрокалькулятора

Пример №150

С помощью микрокалькулятора найти значение многочлена

Решение:

Значение данного многочлена искать удобнее, если его предварительно преобразовать так:

При схема вычислений имеет вид:

Выполнив вычисления, найдем значение многочлена. Оно равно 109,264.

Интересно знать

Античные математики использовали формулы сокращенного умножения задолго до нашей эры. В те времена формулы представлялись не в привычном нам символическом виде, а формулировались словами.

Ученые Древней Греции алгебраические утверждения, формулы, выражающие определенные зависимости между величинами, трактовали геометрически. Так, произведение они рассматривали как площадь прямоугольника со сторонами

Приведем пример алгебраического утверждения, которое было известно древнегреческим ученым и в геометрической терминологии формулировалось так: площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площади квадратов, построенных на каждом из этих отрезков, плюс удвоенная площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках.

Нетрудно догадаться, что речь идет о формуле квадрата суммы, которую мы символически записываем так:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник