Фрактальная музыка что это
Фрактальная музыка Дмитри Корманна
Перевод статьи, опубликованной на сайте plus.maths.org 12 июня в 2012-м.
Несколько простых фракталов
Фракталы — это геометрические конструкции, которые демонстрируют схожие или идентичные характеристики на каждом уровне приближения. Они предоставляют собой новые инструменты для учёных-математиков, позволяющие описать чрезвычайно запутанные и сложные природные (и не очень) объекты, такие как облака, папоротники, снежинки, горные хребты, колебания фондового рынка, кровообращение и нервная система человека и т. д. Они использовались в искусстве в течение длительного времени, прежде чем сам термин фрактал был придуман в 1970-х годах.
Вот некоторые из самых популярных примеров фракталов:
Некоторые фракталы (например, треугольник Серпинского и снежинка Коха) могут быть сгенерированы с помощью достаточно простого процесса: базовая форма используется в качестве отправной точки, применяется некоторое изменение, и результирующий объект преобразуется в соответствии с ним, до бесконечности:
Конечно, некоторые фракталы, такие как приведённый выше фрактал Мандельброта, включают в себя более сложную математику, выходящую за рамки этого объяснения, но всё же приведённые здесь простые примеры прекрасно иллюстрируют основную логику (нажмите здесь, чтобы узнать больше о множестве Мандельброта).
Что касается развития моей фрактальной музыкальной системы, то все произошло почти случайно. Когда я был подростком, мне дико нравилось возиться с генераторами алеаторной музыки, включавших в себя элементы случайности. Иногда я использовал только кости и диаграммы, иногда — собственный генератор, написанный на бразильском клоне ZX Sinclair. Позже я начал воспроизводить графические фракталы в виде звуков с помощью программных конвертеров, таких как Coagula и Metasynth. Затем, уже как более зрелый композитор, я начал задумываться о возможностях применения фрактальной геометрии для придания формы и структуры всего произведения, кроме высоты тона, динамики, тембра и ритма. Некой системы, которую я мог бы включить в мой собственный стиль, в отличие от чего-то, над чем я работал параллельно.
Петли внутри петель
В общем, в какой-то момент я начал изучать фортепианную версию «Весны священной» Стравинского. Меня очень порадовало то, как Стравинскому удаётся поддерживать слушательский интерес и задавать поступательное движение, используя гармонически статический материал, такой как остинато (это петли — постоянно повторяющиеся мотивы), чередующиеся с другими остинато, постоянно меняющими длину. Это можно четко наблюдать в начале Игры двух городов:
Я также был особенно очарован тем, как он создавал поступательное движение, заставляя мотивы, так сказать, вплетаться друг в друга. В отличие от минималистских преобразований, где текстуры просто плавно сменяют друг из друга, Стравинский чередует постепенно увеличивающиеся партии нового мотива с постепенно уменьшающимися партиями продолжающегося. Лучше всего это иллюстрирует происходящее в форме 84 в «Тайных играх девушек — хождении по кругам»:
Сначала мы слышим то, что что можно назвать «мотивом А» в трех тактах. Затем появляется «мотив B» для всего лишь одного такта, окруженного паузами и особым мотивом, который мы назовем «мотивом X», пока мотив A не вернется немного измененным («A’»), и на этот раз только для двух тактов. «Мотив B» возвращается и остается дольше, на этот раз на четыре такта. На четвертом такте мы слышим двухтактный намек на «мотив C», перекрывающийся с «мотивом B». Затем «мотив B» возвращается в последний раз только для двух тактов, прежде чем «мотив C» не займёт всё наше внимание на последующие десять тактов.
(Смотрите мой сайт, если вам интересен подобный разбор структур в остальных действиях «Весны священной»).
Самоподобные структуры
В то же время, я наткнулся на анализ перкуссионного секстета Джона Кейджа «First Construction (In Metal)». Меня очаровали его мульти-скалярные, самоподобные (фрактальные. ) текстуры. Микро-макрокосмические отношения в большинстве его перкуссионных сочинений за последние 20 лет остаются очень и очень сильными. Например, вот, как работает вышеуказанная пьеса:
Кейдж начинает с 16-тактовой серии из пяти фраз (здесь всё вращается вокруг числа 16), и длительность каждой фразы подчиняется следующему паттерну:
Из этого паттерна мы можем построить первую секцию, повторив паттерн 4 раза, так как номер длины первой фразы равен 4:
Теперь мы берём новую 16-тактную серию фраз, расположенных в одинаковых пропорциях. Повторяем это три раза, так как длина второй фразы равна 3. Третья серия фраз из 16 тактов повторяется дважды и так далее. Таким образом складывается форма всей пьесы:
Теперь мы можем воспроизвести этот процесс ещё раз (получится третья итерация), начав с повторения всего этого фрагмента 4 раза, затем собрать другую пьесу по аналогичной пропорциональной структуре и повторить её 3 раза и так далее.
Сочетание обоих подходов
В конце концов, я решил попробовать скомбинировать два этих формальных приёма: я сочинил множество остинатных пьес, собранных по принципу самоподобия, и процесс их сочинения я опишу ниже. Первое различие, которое можно заметить между моим подходом и подходом Кейджа, заключается в следующем: если Кейдж лишь определяет пропорции фраз, встречающихся в целой структуре, то я бы хотел определять пропорции всего материала
Кейдж лишь определяет пропорции фраз, встречающихся во всех структуре, я же хотел бы задавать пропорции каждому конкретному элементу и подражать переходам в стиле Стравинского, о которых я уже писал выше, позволяя одному мотиву возникать из другого.
На протяжении многих лет я экспериментировал со многими различными моделями и формами, и в итоге остановился на относительно простой и понятной:
Это создаёт структуру длиной в 12 тактов из двух отдельных элементов A и B. Давайте назовём её «Q».
Есть две основные проблемы в использовании пропорциональных длительностей Кейджа для этих целей. Во-первых, существует потенциально чрезмерная длина конечной структуры. После двух итераций структура будет иметь длину 144 такта (12 секций по 12 тактов в каждой), а после трех итераций длину 1728 тактов (12×12×12). Во-вторых, после такого большого количества повторений основной паттерн, в конечном итоге, станет предсказуемым для внимательного слушателя. Разумеется, существуют композиционные способы замаскировать это, но подобный подход полностью уничтожит саму цель использования этой механики.
Таким образом, вместо создания еще 11 структур, использующих те же пропорции, мы можем сделать всего одну, которую мы будем называть структурой «R». Она состоит из двух элементов C и D:
Теперь мы используем структуры «Q» и «R», чтобы создать новую структуру «X» с точно такими же пропорциями:
Так как у нас есть две структуры по 12 тактов каждая, полученная новая структура будет иметь 24 такта. Поэтому, чтобы сохранить пропорции, используемые для создания «Q» и «R», каждая пропорциональная единица «X» будет иметь длину в два такта. Если мы развернём структуру «X», то увидим все такты, их которых сона собрана:
Обратите внимание на порядок A, B, C и D — они уже выглядят довольно хаотичными, общий паттерн не будет предсказуемым. И это только после первой итерации. Давайте создадим новую структуру «Y» таким же образом, как «X» (вводя структуры «S» и «T», каждая из которых состоит из E, F, G и H):
Теперь мы можем поместить «X» и «Y» в пропорции еще большей структуры «Z», где каждая пропорциональная единица имеет длину 4 такта:
И вот, из чего сделана структура «Z» при максимальном приближении:
Есть ли какие-либо закономерности в появлении восьми исходных элементов (от А до Н)? Ну, есть только один, и он не очень очевиден (я обнаружил его случайно): если мы разделим Z пополам, вторая половина будет как бы зеркалом первой, с заменой A на H, B на G, C на F и D на E. По сути, мы получили случайную последовательность из простого, равномерно развивающегося процесса. И нужно всего 48 тактов, а не 1728! В этом сила фрактальной геометрии: сложность, созданная простым процессом.
И, да, ничто не может помешать вам ввести еще одну сгенерированную структуру и связать её с Z, и делать это далее и далее до бесконечности. Но на практике — нужно в определённый момент остановиться. Проведя многочисленные эксперименты с формой в течение более десяти лет, я обнаружил, что для того, чтобы получить действительно хорошее чувство баланса между предсказуемостью и случайностью, подобно тому, какое мы получаем от созерцания фракталов на экране компьютера (то, что я люблю называть фрактальным эффектом), необходимо провести минимум три итерации. По совпадению, Harlan Brothers также утверждают, что для того, чтобы структуру можно было назвать фрактальной, должно присутствовать минимум 3 уровня скалярного родства, так как при меньшем значении не проявятся математические степенные отношения (имеется в виду, что мы не сможем увидеть, является ли произведённое преобразование постоянным в больших масштабах).
Я решил назвать этот процесс Fractal Würfelspiel, в честь произведений Моцарта и Гайдна «Würfelspiel» («Игра в кости»). Они состоят из отдельных тактов, которые можно расположить в любом порядке, бросая кубики, и результат будет звучать музыкально согласованно.
Работа с алгоритмами при создании художественного произведения — это процесс, похожий на садоводство: мы планируем, каким образом развернётся сад, где будут посажены семена, и эти семена мы будем сажать сами. Естественно, всё это происходит и с системой музыкального творчества: сама система отнюдь не гарантирует согласованность и наличие художественной ценности произведения. Ничто не заменит внимательное и вдумчивое вмешательство со стороны композитора-садовода в выбор и формирование оригинального материала.
В качестве примера принципов «Fractal Würfelspiel» в действии, приводится основная структура «Coral Reef 1»:
Финальная партитура (структура, о которой идёт речь, начинается примерно через 1 минуту 43 секунды): Coral Reef Symphony: part 1.
Послушайте следующие пять пьес, составленных с использованием фрактальной системы Корманна:
Все композиции принадлежат Дмитри Корманну © (члену Альянса MCPS/PRS).
Организованный хаос фрактальной музыки
Организованный хаос фрактальной музыки
La фрактальная музыка Он существует между математическими уравнениями и теорией хаоса.
Хотя есть теории, которые определяют фрактальность в музыкальных формах на протяжении вековэто один характерная музыкальная форма двадцатого века.
Интерес к теория хаоса, алгоритмическая математика и развитие технологий, способствовал взрыву фрактальной музыки, как мы ее знаем.
Узоры в фрактальной музыке
Ключ в фрактальной музыке паттерны самоподобия.
Мы можем различить идентичные сходства и нелинейные фракталы, из которых обычно строится фрактальная музыка.
Бенуа Мандельброт, польский математик, является ключом к пониманию фрактальная геометрия Это относится к музыке.
Потому что с помощью компьютеров он обнаружил фрактальные структуры, присутствующие в природе.
Композиторы любят Харлан Дж. Братья Они использовали ансамбль Мандельброта и применили его к фрактальной музыке.
Композиторы в фрактальной музыке
В фрактальной музыке мы можем найти композиторов, которые используют эти математические принципы для создания.
Например бразилец Дмитрий Корманн, что через синтезаторы и программы, «Переписать» визуальные паттерны в звуки.
Другим важным композитором был Испанский Франциско Герреро Марин.
Он экспериментировал с фрактальная музыка в оркестровых композициях в 1990 десятилетие.
На творческом пути этим композиторам приходилось разрабатывать программы для создания своих музыкальных произведений, работать с алгоритмами, позволять последовательностям переносить их в неожиданные места.
Это был случай Фил Томпсон и его Организованный ХаосКто разработал программу Gingerbread, с помощью которого создаются фрактальные композиции.
Таким образом, многие музыканты, работающие в области фрактальной музыки, приближаются к процессу, как к открытию.
И его процесс уравновешивает работу ученого с работой художника.
Вы также можете быть заинтересованы в:
СпискиКак создаются бактериальный джаз и солнечное техно
10 удачных примеров перевода математических данных в музыку
Текст
Где найти вдохновение современному музыканту? Везде: в математических данных, в ландшафтах, в архитектурной сетке городов и даже в финансовом отчёте. Остаётся только один вопрос — как? Перевод массива данных в звуковой сигнал называется сонификацией. Её классический пример демонстрирует счётчик Гейгера, при работе которого частота треска соответствует интенсивности излучения. Эту идею давно взяли на вооружение музыканты и медиа-художники, интересующиеся наукой, а к ним в свою очередь присоединились исследователи, тяготеющие к музыке. Мы неоднократно писали об этом ранее: например, о музыканте, сыгравшем мелодию глобального потепления последних 130 лет; о художнике, зафиксировавшем на виниле свои перемещения за год; о превращении колебаний фондового рынка в музыку.
Сонификация, при которой научные и математические данные используются в качестве формул для создания отдельных звуков и композиций, вылилась в отдельное творческое явление. И пусть эти композиции вряд ли могут претендовать на то, что их кто-то захочет слушать на своём iPhone, сам подход, которым пользуются их создатели, заслуживает внимания. Рассмотрим же другие примеры необычных способов написания музыки, которые, вероятно, могут вдохновить и вас.
Фрактальный нойз
Испанский пианист и композитор Густаво Диаc-Херез использует фрактальное уравнение Мандельброта для создания музыки — ту самую формулу, которая явила миру геометрическую фигуру фрактал, обладающую свойством самоподобия. В результате его экспериментов получилась довольно интересная нойзовая композиция из странных внеземных звуков. На своём сайте Диас-Херес представил авторскую программу FractMus — алгоритмический музыкальный генератор — с ним вы сможете попробовать писать музыку при помощи математических формул.
Эмбиент, создаваемый с помощью камеры iPhone
Приложение для iPhone Sonified, созданное Перри Холлом, помогает создавать оригинальные музыкальные композиции при помощи камеры смартфона. Программа использует визуальные данные — освещённость и насыщенность цветом, преобразовывая их в музыкальную композицию в режиме реального времени. Так, более светлое изображение даёт светлую окраску тембра; тёмные объекты, попадающие в объектив, делают гармонии более мрачными. В ходе процесса сонификации мобильное устройство превращает смартфон в интерактивный аудиовизуальный инструмент. Записанные с помощью приложения звуковые дорожки можно сохранять в формате QuickTime.
Музыка Солнца
Мультимедийный художник Роберт Александер всегда был очарован небесной механикой. Исследователь, имеющий за своей спиной композиторский бэкграунд, работал над диссертацией, когда решил попробовать «озвучить» то, что происходит в небе, другими словами — отобразить космические данные в аудиоформате. Роберт использовал данные, собранные с помощью спутников НАСА, и записал несколько треков. Один из них — Solar Heartbeat представляет собой сырой поток аудиоданных солнечного ветра или солнечной турбулентности, пропущенных через фильтр.
В другой композиции используются аудиосэмплы солнечного ветра из данных, которые помогают учёным измерять и предсказывать вспышки. Они дополнены неземным хоралом и ударными, которые частично основаны на ускоренном 26-дневном солнечном цикле.
Космический рок
Микки Харт, барабанщик группы Grateful Dead, в рамках своего сольного проекта создаёт музыку, используя различные данные НАСА, полученные из космоса. Работая над композициями, он преобразует свет, электромагнитные волны, исходящие от далёких галактик, пульсаров, сверхновых и других астрономических объектов.
Свои музыкальные эксперименты, пограничные с астрофизикой, он проводит совместно с нобелевским лауреатом по физике — Джорджем Смутом, работы которого подтвердили теорию Большого взрыва. Он и вдохновил Харта на запись альбома Mysterium Tremendum. Космические звуки в нём переплетаются с электронными ударными и традиционными рок-инструментами.
Этюд бозона Хиггса и дуэт «Вояджеров»
Образовательный проект GÉANT использовал данные, собранные ЦЕРНом для создания музыки. Те самые аномалии, зафиксированные в Большом адронном коллайдере, благодаря которым был обнаружен бозон Хиггса, были превращены в музыкальную композицию. Оптимистичная мелодия, напоминающая Хабанеру, была получена командой исследователей во главе с Доменико Викинанса, который является и музыкантом, и инженером одновременно. Учёные также представили нотную запись, каждый интервал в которой отображает значениями в исходных данных.
«Любая закономерность научных данных может быть сопоставлена с мелодией, — сказал Викинанса в интервью Discovery News. — Так, если данные являются периодическими, то есть в них отмечается некоторый повторяющийся цикл, то в итоге музыкальная мелодия будет иметь ту же периодичность и регулярность».
При создании по похожему принципу другой композиции специалисты проекта GÉANT использовали 320 000 различных измерений, собранных аппаратами «Вояджер-1» и «Вояджер-2».
Переосмыс- ление нотной записи при помощи подручных предметов
Деннис П. Пол изобрёл весьма необычный способ создания музыки. Для этого он приспособил нехитрое устройство, напоминающее вращающиеся тиски, и лазер высокой точности. Любой подходящий по размеру объект вставляется в тиски, включается мотор, а лазер, направленный снизу на крутящийся предмет, сканирует его и отсчитывает изменяющееся расстояние до его поверхности, превращая данные в аудиосигнал. Чем дальше расстояние от лазера до объекта, тем ниже тон.
Таким образом, любая повседневная вещь, будь то картонная коробка, игрушечный конструктор или скомканная бумага, может стать музыкальным инструментом, а форма и силуэт определяет мелодику и ритмический рисунок. Своим опытом Деннис попытался переосмыслить нотную запись.
Мелодии, исполняемые растениями
Итальянский музыкант и художник Симон Виталь в рамках своего проекта The Sound of Golden Light записывает музыку растений. Серия расслабляющих композиций, представленных на его канале в YouTube, на самом деле исполнены комнатным растением — Антуриум Андрэ (Anthurium Andreanum). Растение подаёт сигналы в ответ на различные внешние раздражители, которые представляют собой электрические поля. Собранные данные Симон конвертирует в MIDI-сигнал, который посылается синтезатору с мягким и успокаивающим звуком. Как говорит музыкант, через некоторое время после подключения к устройству, растения даже начинают «понимать», что музыка исходит от них самих.
Музыка
числа Пи
Том Дьюкич использовал бесконечное число Пи (3,14…) с тысячей знаков после запятой и превратил его в композицию. Каждой цифре из длинной вереницы он назначил определённую ноту и получил уникальную мелодию, пусть и не очень благозвучную. Другой музыкант и математик-любитель Дэвид Макдоналд пошёл дальше. Он также взял за основу своей композиции число Пи, и каждое последующее число после запятой он сопоставил с нотой в ля минор (то есть ля стала обозначать 0; ля-диез — 1, си — 2 и т. д.) «Численную» мелодию он исполнил правой рукой, а левой подыграл аккомпанемент, добавляющий гармоничности его творению. По словам Дэвида, эта песня помогает ему запомнить около 150 цифр после запятой.
Климатичес- кие сонаты
Исследовательская группа Design Rhythmics Sonification Research Lab фокусируется на превращении исторических и естественно-научных данных в музыку. Марти Куинн, композитор и программист, разработал свой метод сонификации данных. Например, одна из его композиций основана на цикле приливов в Венеции, где мелодия флейты представляет собой данные о направлении ветра, валторны обозначают температуру ветра, а струнная секция — уровень воды.
У Куинна есть и другие интересные произведения: Climate Symphony, основанная на 110 000-летней истории климата на Земле; Seismic Sonata, озвучившая данные землетрясения в Нортридже (Лос-Анджелес).
Джаз, вдохновлён- ный микробами
Питер Ларсен, биолог Аргоннской национальной лаборатории, уже около восьми лет изучает микробов в проливе Ла-Манш. Терабайты данных, полученных за все эти годы, требовалось отсортировать и проанализировать. «Моя работа заключается в представлении огромного массива данных таким образом, чтобы можно было выявить в нём паттерны, доступные для исследований, — объясняет Ларсен журналу Wired. — Невозможно понять, что происходит, лишь взглянув на 10 000 строк и сотни столбцов». Таким образом, Ларсен обратился к музыке: в 2012 году он представил четыре джазовые композиции в стиле «микробиологический бибоп» (как он сам его назвал). Так, например, в одном из треков Blues for Elle аккомпанемент привязан к данным о сезонных изменениях в интенсивности радиоактивного излучения, в то время как основная мелодия, ограниченная полутора октавами, связана с химическими измерениями среды.