Фрактальные рисунки что это
Фрактальный рисунок-попытка узнать и изменить себя.
В Википедии фрактал(fractus)означает ломаный,дробленый,разбитый.Это множество,обладающее свойством самоподобия.То есть объект совпадает с частью себя самого- целое имеет ту же форму что одна из частей
В Википедии фрактал(fractus)означает ломаный,дробленый,разбитый.Это множество,обладающее свойством самоподобия.То есть объект совпадает с частью себя самого- целое имеет ту же форму что одна из частей.
Что такое фрактальное рисование?
В интернете много написано о нем,как о разновидности АРТ-Терапии.
Я бы не стала так утверждать..Хотя бы потому,что мы ничего не знаем о наших предках.Все,что мы знаем,это сведения из учебников истории в школе,ну и кое-что из дополнительного чтения.
В последние годы много говорят о том,что история нашей страны и нашего народа сфальсифицирована.
В доказательство приводят полученные новейшие данные археологии.Но речь сейчас не об этом.Изучение человека продолжается и по сей день.И не намного продвинулись в этой теме..
Например,такая область,как подсознание совсем не изучена.А наши предки отчетливо понимали,что это такое и как с ним работать.
50 000 лет назад и более не было такого понятия «фрактальный».Предки напрямую черпали информацию из космоса и каждое их слово,каждое действие было наполнено смыслом и ЭНЕРГИЕЙ.
Свидетельство тому Славяно-Арийские Веды.Там все описано слово в слово,что и как происходило.
Затем,после потопа,знания были спрятаны.Они есть,но недоступны.Мы-потомки наших могучих предков,живем вслепую.Мы даже не знаем возможностей нашего головного мозга и нашего тела..
Появилось множество лжеучителей,которые уводили своими учениями в сторону от Истины.Так в 1991 году появились работы Мандельброта,Файдыш,Люшера,Полуяхтова,Комова.Они разработали метод фрактального рисования.
Суть метода основывается на взаимосвязи между «ручной моторикой»человека и его психическими и психофизиологическими состояниями.Метод позволяет задействовать глубинные механизмы подсознания,улучшить состояние здоровья,гармонизировать ситуации,связанные с различными проблемами.
Главная задача фрактального рисования-самовыражение человека,выполненное через рисунок по определенным правилам.
Что происходит при этом? А происходит замена слова рисунком.
Есть состояния,которые человек не может выразить словами.Но он может НАРИСОВАТЬ!Это и есть новый способ описания реальности!
При освоении техники фрактального рисунка,раскрывается полностью творческий потенциал человека!
МАТЕРИАЛЫ И СУТЬ МЕТОДА
Набор инструментов невелик.
Техника рисунка
Первый этап.
Располагаем лист бумаги А4 горизонтально на твердой поверхности..Закрываем глаза и рисуем НЕПРЕРЫВНУЮ линию в течение 45-60 секунд,стараясь захватить как можно больше поверхности листа.
Линия должна быть очень четкой,хорошо прочерченной.
Что рисуем?Медленно двигая рукой с ручкой,выписываем ПО НАИТИЮ квадраты,овалы,петли,углы,линии,треугольники,многоугольники,круги НЕ ОТРЫВАЯ РУЧКУ ОТ БУМАГИ! НЕПРЕРЫВНО!
И при этом нужно стараться как можно меньше повторяться!
Конец линии нужно закруглить в ближайшей точке пересечения.
Стараться не изображать знакомые предметы-дома,животных,людей..
Соотношение мелких,средних и крупных ячеек должно составлять по ⅓.Если вы открыли глаза и обнаружили,что количество крупных ячеек преобладает,то нужно снова закрыть глаза и «измельчить» крупные ячейки.
Второй этап
Раскладываем на столе карандаши.Закрываем глаза и перемешиваем их тщательно.Затем накрываем салфеткой.
Берем полученный рисунок.Закрываем глаза и на ощупь вытаскиваем карандаш из-под салфетки.
Затем открываем глаза и полученным цветом закрашиваем фигуры те,которые ХОЧЕТСЯ закрасить!
Берем следующий карандаш,так же с закрытыми глазами из-под салфетки.А предыдущий карандаш вставляем снова в общую кучку карандашей.Вторым карандашом закрашиваем следующие фигуры. И так далее..
Пока не закрасим всю площадь листа.
При закрашивании нужно обратить внимание на то,что соседние ячейки,разделенные линией НЕЛЬЗЯ закрашивать ОДНИМ ЦВЕТОМ!Нельзя закрашивать одним цветом группу ячеек! Допускается закрашивание одним цветом только тех ячеек,которые в точке соприкосновения,но не разделенные линией.
Руку с карандашом ставим на то место,которое первое приглянулось.Одним цветом можно закрасить одну или несколько ячеек в разных местах.
Закрашивать нужно ровно,без нажима.
Если в руки попадается карандаш одного и того же цвета,но нет желания использовать его,тогда нужно закрасить хотя бы одну ячейку,а затем поменять карандаш.
Можно использовать одновременно и карандаши и фломастеры.Но я не советую.Лучше что-то одно.
Итак!У нас получился готовый рисунок!
Как его расшифровать?
АНАЛИЗ ФРАКТАЛЬНОГО РИСУНКА
ЛИНИЯ
Сначала необходимо оценить качество линий,очерчивающих контур рисунка.А именно плавность линии,четкость,толстая или тонкая.
РАЗМЕР И КОНФИГУРАЦИЯ РИСУНКА
ЯЧЕЙКИ.КОНФИГУРАЦИЯ И РАЗМЕРЫ
Ячейки на фрактальном рисунке тоже несут в себе достаточный объем информации об его авторе.
Когда линия многократно пересекается в пространстве,получается огромное количество ячеек разных размеров,конфигураций и пропорциональных соотношений.
Они могут быть треугольные,петлеобразные,круглые, вытянутые и т.д.Ячейки могут раскрыть чрезвычайно любопытные подробности,а их совокупность дает четкую картину о человеке как личности.
Если вы заметили большое количество ячеек геометрической формы,полученных простым пересечением линий,то это указывает на наличие твердого характера и присутствие деловых качеств.
Но при этом отмечается некоторый комплекс зависимости от настроения.
Геометрические формы ячеек,прорисованные соответствующими движениями руки и заполняющие весь или большую часть рисунка,свидетельствуют о прямолинейном,консервативном типе характера,также этому человеку могут быть присущи такие черты,как целеустремленность и бескомпромиссность.
ПЯТНА
Маленькие,точечные пятна-наличие качества»формирователя» событий(о чем человек думает,то и происходит).
Любое небольшое черное пятно-свидетельство начала изменения событий в настоящем времени.
Заметное количество средних пятен или больое черное пятно-энергетический голод,обесточенность(нежеланный труд, работа вхолостую).
Большое локальное темное пятно-острая проблема личного характера.
Обращаю ваше внимание на то,что цвета фрактального рисунка- это цвета вашей АУРЫ!!
ДЛЯ ЧЕГО НУЖНО ЗАНИМАТЬСЯ ФРАКТАЛЬНЫМ РИСОВАНИЕМ
Я вспоминаю свое детство,цветные карандаши и всевозможные раскраски.
Мама покупала мне их в большом количестве.
Раскрашивая уже готовые картинки,я старалась не выходить за границы прорисованных линий,подбирать яркие цвета и никогда не копировать.
Дело в том,что были такие раскраски,где с одной стороны уже готовый рисунок,а с другой-его контуры.Вот именно такие раскраски я и не любила.
Мне хотелось придумывать одежду для своих «героев сказок»самостоятельно!
На голове известной всем девочки нарисовать не красную шапочку,а синюю,или зеленую.Что приводило в сильное недоумение мою маму.
Мои первые фрактальные рисунки возникли на оборотной стороне старых семейных фотографий.
Мне было 2 года и я рисовала простым карандашом.Преимущественно это были лестницы разных размеров,длины и ширины.
То есть,исходя из темы этой статьи- это были простые геометрические фигуры.
А о чем говорит большое количество геометрических фигур?О склонности к анализу,твердости характера,прямолинейности.Такой я и осталась по сей день.
К чему я веду?А к тому,что дети непосредственны и открыты для мира.
С помощью фрактального рисования они могут самовыражаться.Развивается память,внимание,интеллект и моторика.
Если внимательно следить за процессом и складывать рисунки ребенка в отдельную папку,то можно корректировать возникающие проблемы с вниманием,усидчивостью.Это очень пригодится в школе.
Ребенок,который занимается фрактальным рисованием один раз в неделю регулярно,достигает больших успехов в учебе,чем то,кто не занимается.
Он учится распределять свое время,организует правильно досуг,все успевает.
Очень большое значение имеет развитие творчества.Некоторые дети говорят:»Я это не умею!Я это не буду делать,потому что не умею!»
И действительно,не все умеют хорошо рисовать,лепить поделки из пластилина,клеить и так далее.А здесь-широкое поле деятельности для творчества.
Даже не умеющий рисовать ребенок,всегда сможет создать «фрактал».И это здорово повысит его САМООЦЕНКУ!Главное объяснить ему зачем это делается!
Фрактальное рисование-это медитация!
При выполнении рисунка ум успокаивается.Прекращается внутренний диалог.Возникает тишина внутри.И подсознание,то есть внутреннее и настоящее Я человека наконец может «высказаться».
В текучке будней мы не слышим свое Я.И поэтому попадаем в разные неприятные ситуации.Поэтому данный метод «общения с самим собой» очень конструктивен.
Он помогает осознать ошибки поведения,исправить нежелательные черты характера и стать более открытым и счастливым в этой жизни.
А она коротка!Нужно торопиться сделать в ней максимум хорошего и доброго!
В ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Кто-то может сказать:»Я не буду этим заниматься!Времени нет!Галиматья все это!»
Пусть он подумает о том,что наша жизнь нам дается взаймы.И нам придется вернуть ее однажды.
Я не знаю таких,кто перед смертью не вспомнил бы свои прожитые годы.Все вспоминают!Абсолютно все!Если успевают,конечно!
И что мы вспоминаем?Быт,работу. что?Мы никогда не выходили за пределы реальности..Все время крутились в ней.
Занятие фрактальным рисунком помогает попадать в иные реальности!Там так необыкновенно красиво!Стоит попробовать.Кто пытался-попадал вот сюда…
Посмотрите,какая красота!Ничего невозможного нет!Нужно только желание!
Если вам понравилась моя статья,подписывайтесь на сайт!Буду благодарна вам за комментарии и замечания.
Метод фрактального рисунка
Здравствуйте! Мне захотелось поделиться с Вами информацией о потрясающей методике диагностики и корреции состояния человека, также о способе самовыражения и саморазвития!
17 января 2016 года, я побывала на лекции по фрактальному рисунку у основателя фрактального метода Татьяны Закировны Полуяхтовой.
Татьяна Закировна занимается этим методом уже более 25 лет и через ее глаза и руки прошли сотни чудесных случаев трансформации))) Она рассказывала реальные чудеса)))))))
С помошью метода Фрактального Рисунка:
✔ найди себя и добейся успеха
✔ раскрой свой творческий потенциал
✔ наладь и укрепи отношения в семье
✔ реши проблемы со здоровьем
✔ построй доверительное общение с детьми
Метод запатентован и 20-летняя практика доказывает его действенность.
Фрактальный рисунок создается весьма необычно: с закрытыми глазами. Это позволяет на время отключить оценочные суждения разума, и проявить полную свободу самовыражения.
Благодаря методу фрактального рисунка становится возможным получить доступ к знаниям, скрытым в самых глубоких слоях подсознания».
Метод коррекционного фрактального рисунка включает в себя 21 рисунок, из которых 2-3 рисунка диагностических, остальные коррекционные.
Создание диагностических рисунков позволяет оценить преподавателю особенности характера и психо-эмоциональное состояние человека с последующей коррекцией этого состояния в коррекционных рисунках. При кажущейся на первый взгляд сложности, все просто!
Предлагаю создать свой диагностический рисунок! 
Взять лист белой бумаги формата А4 (лучше для черчения, он плотнее), расположить его горизонтально. Взять хорошо пишущую черную шариковую ручку, поставить ее на каком-либо месте листа, закрыть глаза и НЕ ОТРЫВАЯ ручки в течение 60 секунд рисовать хаотичную кривую в различных направлених, чтобы в итоге получилась некая абракадабра, которая заполняет лист примерно на 2/3. Закрытые фигуры, которые образовались в результате художества, называем фракталы. Так вот, если фракталы слишком крупные или рисунок смещен в сторону, то допускается еще дважды по 20 секунд, закрыв глаза дорисовать те места, где фракталы крупные или заполнить пустущие места на листе.
Итак, мы получили разукрашку)))))))))
Покупаете четыре пачки по 24 карандаша от разных производителей. Ну, мне кажется, что можно и поменьше))))) Еще желательно обзавестись гелевыми или шариковыми ручками нескольких цветов, ими удобно прорисовывать самые мелкие фракталы.
ИТАК: самое интересное. Складываем карандаши в коробку и ЗАКРЫТЫМИ глазами достаем первый карандаш.
ОТКРЫТЫМИ глазами закрашиваем им от 3 до 10 фракталов в разных частях картины с разным нажатием на карандаш (сильно, средне и мягко)
ВАЖНО. Не отворачиваемся и достаем, а именно ЗАКРЫВАЕМ глаза, это упрощает доступ к подсознанию.
Вы очень удивитесь, когда с завидной регулярностью будете доставать одни и те же цвета)))))) Не все, конечно. Но часто)))))
Татьяна Закировна утверждает, что рецепторы на кончиках пальцев сигнализируют о том, какой цвет взять.
Для облегчения диагностики рекомендуется на отдельном листочке рисовать в столбик или строчку горошки теми цветами, которые Вы вытягиваете, закрыв глаза.
Я хожу на занятия по фрактальному рисунку и рисую 10 рисунок. Медленно и не всегда хватает времени, но меня очень увлекло это занятие)))
Это тоже корреционный заборчик)))
Это рисунок нарисован закрытыми глазами и раскрашен открытыми глазами ЛЕВОЙ рукой))))) Поначалу было нелегко)))
Предлагаю всем желающим присоединиться. По утверждению Татьяны Закировны после 21 прорисованного фрактального рисунка происходят какие-то чудеса трансформации Вашего сознания и жизни.
Детям также ОЧЕНЬ рекомендовано заниматься этим крайне приятным занятием, поскольку, кроме развития творческих способностей, улучшается концентрация внимания, усидчивость. Развивается такое чудесное качество, как самодостаточность.
Почему я в это верю:
Это динамическая медитация. Это реальный способ остановить бесконечный бег мыслей в твоей голове. Когда останавливаются мысли, отдыхает сердце и душа. Это прекрасно.
Раскрашивая, мы развиваем мелкую моторику (это никогда не поздно) и расслабляем лицевые мышцы, что ведет к уменьшению морщин))))))) Представляете))))).
Всем заинтересовавшимся с удовольствием отвечу подробнее в личных сообщениях!
Фрактальное рисование
Суть метода, базируется на использовании взаимосвязей между ручной «моторикой» человека и его психическими и психофизиологическими состояниями. Рисунок несёт информацию о состоянии души и тела. Данный метод основывается также на учёте рационального и интуитивного в восприятии человека и в его творческой активности, который я применяю в работе с людьми. Это уникальный метод, который позволяет соприкоснуться с чем-то важным внутри нас, чему обычно мы не даём ни облика, ни голоса, но оно не только живо в нас, но и сильно влияет на наши выборы, желания, на качество нашей жизни.Метод позволяет задействовать глубинные механизмы подсознания, позволяет улучшить состояние своего здоровья, гармонизировать ситуации, связанные с творческими и межличностными проблемами.
Главная задача метода фрактального рисования – самовыражение человека через рисунок, выполненный по определённым правилам. Происходит замена слов рисунками – это переход не только к новой системе кодирования информации, но и к новым методам описания окружающего нас мира.
Инструменты:
Как рисовать.
Несколько полезных советов:
Анализ фрактального рисунка
Ярко выраженные черты характера, индивидуальные качества и особенности поведения и состояния автора рисунка можно определить по следующим параметрам:
Если рисунок содержит характерные особенности, которые занимают до 60—75% его площади, это указывает на то, что качества и черты характера автора, а также его состояние ярко выражены. Особенности, занимающие 30—35% площади рисунка, указывают на средний показатель качеств и черт характера.
1. Анализ и расшифровка информации, содержащейся во фрактальном рисунке, начинается с линий.
Сначала необходимо посмотреть и оценить качество линии, которой нарисован контур рисунка. Оценить, насколько линия плавная, насколько линия прочерченная, контрастная, толстая. Необходимо оценить скорость, с какой линия проведена. Определить: спокоен был человек в момент нанесения или находился в агрессивном состоянии.
Четко прочерченная линия — уверенный, твердый характер, целеустремленность и самостоятельность, аккуратность, исполнительность, обязательность.
Нажим при проведении линии не везде одинаковый — чаще всего это творческий человек с гибким характером, мечтатель, не всегда устойчивые эмоции, иногда проявляется неуверенность в себе.
Слабо прочерченные линии — болезненное состояние, комплексы, заметная неуверенность в себе.
Резкие, угловато прочерченные линии — эмоциональное напряжение, стрессовое состояние.
Линии с плавными переходами — гармоничное, стабильное состояние.
Расположение линий по концентрическому кругу, кругообразный повтор в рисунке — склонность к навязчивым состояниям, неврозам.
2. Размер и конфигурация рисунка
Маленький рисунок (не более 1/3 площади листа) — с одной стороны, комплексы и заниженная самооценка, с другой — склонность к эгоцентризму.
Средний размер (около2/3 площади листа) и овальный периметр рисунка — чаще всего это показатель уравновешенного характера.
Большой рисунок (значительно больше 2/3 площади листа) с линиями, выходящими за пределы листа, — нестабильное эмоциональное состояние, в некоторых случаях неспособность к концентрации внимания.
Прямоугольная форма периметра рисунка — прямолинейный, зачастую сложный характер.
Конфигурация рисунка с причудливо выраженными «хвостиками» по его периметру — яркая индивидуальность, неординарность, в некоторых случаях нестабильность характера.
3. Ячейки. Конфигурация и размеры
Ячейки на фрактальном рисунке тоже несут в себе достаточный объем информации об его авторе. Когда линия многократно пересекается в пространстве, получается огромное количество ячеек разных размеров, конфигураций и пропорциональных соотношений. Они могут быть треугольные, петлеобразные, круглые, вытянутые и т.д. Ячейки могут раскрыть чрезвычайно любопытные подробности, а их совокупность дает четкую картину о человеке как личности.
Гармоническое сочетание размеров ячеек на всей площади рисунка (1/3 крупных, 1/3 средних, 1/3 маленьких) — говорит об уверенности в себе, целеустремленности, стабильности.
Большое количество крупных ячеек — добрая открытая натура.
Большое количество средних ячеек — исполнительность, аккуратность, педантизм, наличие аналитических способностей, склонность к точным наукам.
Большое количество мелких ячеек — закомплексованность, стремление к детализации, в некоторых случаях неуверенность в себе, но всегда аккуратность и старательность.
Плавные, округлые ячейки с небольшим числом геометрических форм — рассудительный спокойный характер, склонность к творчеству.
Большое количество геометрических форм — ярко выраженная склонность к анализу, скептицизм в оценках, прямолинейный авторитарный характер.
Резко прочерченные, угловатые, неровные ячейки — эмоциональная нестабильность, раздражение, стресс.
Примечание.
Внимательно проанализируйте геометрические формы ячеек:
4. Пятна
Маленькие черные (точечными пятнами) ячейки — наличие качества «формирователя» событий (о чем человек думает, то и происходит).
Любое небольшое черное пятно — свидетельство начала изменения событий в настоящем времени.
Заметное количество средних пятен или большое пятно черного цвета — энергетический голод, обесточенность (нежеланный труд, работа вхолостую).
Большое локальное темное пятно — острая проблема личного характера
5. Характерные цветовые акценты.
Большие ячейки красного цвета — предрасположенность к навязчивым состояниям, тревожность.
Заметное количество красных пятен среднего размера — напряженность, неустойчивые эмоции.
Одна или несколько больших ячеек коричневого цвета — долго не решаемые проблемы межличностных отношений.
Большое количество оттенков зеленого цвета — природная способность организма к саморегуляции.
Одна или несколько крупных ячеек лилового цвета — тревожное состояние, агрессия, острый стресс.
6. Цвет
Чистый без пятен и помарок белый фон рисунка — высокая концентрация внимания, исполнительность, пунктуальность.
Случайно или намеренно не закрашенные ячейки белого цвета — говорят о значительной невостребованности природных особенностей.
О других цветах можно сказать следующее:
Голубой — цвет спокойной энергии
Синий и темно-синий — цвет холодной равнодушной энергии
Сиреневый — цвет сильной энергии
розовый — цвет теплой энергии
алый, малиновый — цвет, сигнализирующий о наличии опасности, цвет тревоги
Примечание. В целом, говоря о цвете, необходимо отметить следующее:
В данном описании даны лишь краткие характеристики цветов (см приложение 1). Однако, это тот параметр, который является основным в методике фрактального рисунка. Как уже говорилось, цвета, преобладающие во фрактальном рисунке, являются цветами, преобладающими и в ауре автора рисунка. И они характеризуют наличие определенных качеств характера, эмоциональное и физическое состояние.
Метод фрактального рисунка может использоваться в индивидуальной работе с клиентом, для снятия напряжения и усталости у детей и взрослых, с целью диагностики и в корррекционно-развивающей работе с детьми и взрослыми, для изучения взаимоотношений в коллективе, с целью выявления психологической совместимости членов коллектива.
Литература
Загадочный беспорядок: история фракталов и области их применения
Одно из таких «незаметных» открытий — фракталы. Вам наверняка доводилось слышать это запоминающееся слово, но знаете ли вы, что оно означает и как много интересного скрыто в этом термине?
В каждом человеке заложена природная любознательность, стремление познавать окружающий его мир. И в этом стремлении человек старается придерживаться логики в суждениях. Анализируя процессы, происходящие вокруг него, он пытается найти логичность происходящего и вывести некоторую закономерность. Самые большие умы на планете заняты этой задачей. Грубо говоря, ученые ищут закономерность там, где ее быть не должно. Тем не менее даже в хаосе можно найти связь между событиями. И эта связь — фрактал.
Наша маленькая дочь, четырех с половиной лет, сейчас находится в том прекрасном возрасте, когда число вопросов «Почему?» многократно превышает число ответов, которые взрослые успевают давать. Не так давно, рассматривая поднятую с земли ветку, дочка вдруг заметила, что эта ветка, с сучками и ответвлениями, сама похожа на дерево. И, конечно, дальше последовал привычный вопрос «Почему?», на который родителям пришлось искать простое объяснение, понятное ребенку.
Обнаруженная ребенком схожесть отдельной веточки с целым деревом — это очень точное наблюдение, которое лишний раз свидетельствует о принципе рекурсивного самоподобия в природе. Очень многие органические и неорганические формы в природе формируются аналогично. Облака, морские раковины, «домик» улитки, кора и крона деревьев, кровеносная система и так далее — случайные формы всех этих объектов могут быть описаны фрактальным алгоритмом.
⇡#Бенуа Мандельброт: отец фрактальной геометрии
Само слово «фрактал» появилось благодаря гениальному ученому Бенуа Мандельброту (Benoît B. Mandelbrot).
Он сам придумал этот термин в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово fractus из латыни, где оно буквально означает «ломанный» или «дробленный». Что же это такое? Сегодня под словом «фрактал» чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которая в более крупном масштабе подобна сама себе.
Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача — понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным.
Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность — графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась.
При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден.
Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать рисунки и вдумываться в смысл странных узоров-завихрений.
Фрактальный рисунок не имеет идентичных элементов, но обладает подобностью в любом масштабе. Построить такое изображение с высокой степенью детализации вручную ранее было просто невозможно, на это требовалось огромное количество вычислений. Например, французский математик Пьер Жозе Луи Фату (Pierre Joseph Louis Fatou) описал это множество более чем за семьдесят лет до открытия Бенуа Мандельбротом. Если же говорить про принципы самоподобия, то о них упоминалось еще в трудах Лейбница и Георга Кантора.
Один из первых рисунков фрактала был графической интерпретацией множества Мандельброта, которое родилось благодаря исследованиям Гастона Мориса Жюлиа (Gaston Maurice Julia).
Гастон Жюлиа (всегда в маске — травма с Первой мировой войны)
Этот французский математик задался вопросом, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы, проитерированной циклом обратной связи. Если объяснить «на пальцах», это означает, что для конкретного числа мы находим по формуле новое значение, после чего подставляем его снова в формулу и получаем еще одно значение. Результат — большая последовательность чисел.
Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений — сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график. Вот что он получил.
Впоследствии это изображение было раскрашено (например, один из способов окрашивания цветом — по числу итераций) и стало одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком.
Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, «В одну и ту же реку нельзя войти дважды». Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок.
Желающие посмотреть, как будет выглядеть изображение пространства Мандельброта при многократном увеличении, могут сделать это, загрузив анимационный GIF.
⇡#Лорен Карпентер: искусство, созданное природой
Теория фракталов скоро нашла практическое применение. Поскольку она тесно связана с визуализацией самоподобных образов, неудивительно, что первыми, кто взял на вооружение алгоритмы и принципы построения необычных форм, были художники.
Будущий сооснователь легендарной студии Pixar Лорен Карпентер (Loren C. Carpenter) в 1967 году начал работать в компании Boeing Computer Services, которая была одним из подразделений известной корпорации, занимающейся разработкой новых самолетов.
В 1977 году он создавал презентации с прототипами летающих моделей. В обязанности Лорена входила разработка изображений проектируемых самолетов. Он должен был создавать картинки новых моделей, показывая будущие самолеты с разных сторон. В какой-то момент в голову будущему основателю Pixar Animation Studios пришла в голову креативная идея использовать в качестве фона изображение гор. Сегодня такую задачу может решить любой школьник, но в конце семидесятых годов прошлого века компьютеры не могли справиться со столь сложными вычислениями — графических редакторов не было, не говоря уже о приложениях для трехмерной графики. В 1978 году Лорен случайно увидел в магазине книгу Бенуа Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В этой книге его внимание привлекло то, что Бенуа приводил массу примеров фрактальных форм в реальной жизни и доказывал, что их можно описать математическим выражением.
Такая аналогия была выбрана математиком не случайно. Дело в том, что как только он обнародовал свои исследования, ему пришлось столкнуться с целым шквалом критики. Главное, в чем упрекали его коллеги, — бесполезность разрабатываемой теории. «Да, — говорили они, — это красивые картинки, но не более. Практической ценности теория фракталов не имеет». Были также те, кто вообще считал, что фрактальные узоры — просто побочный результат работы «дьявольских машин», которые в конце семидесятых многим казались чем-то слишком сложным и неизученным, чтобы всецело им доверять. Мандельброт пытался найти очевидное применение теории фракталов, но, по большому счету, ему и не нужно было это делать. Последователи Бенуа Мандельброта в следующие 25 лет доказали огромную пользу от подобного «математического курьеза», и Лорен Карпентер был одним из первых, кто опробовал метод фракталов на практике.
Проштудировав книжку, будущий аниматор серьезно изучил принципы фрактальной геометрии и стал искать способ реализовать ее в компьютерной графике. Всего за три дня работы Лорен смог визуализировать реалистичное изображение горной системы на своем компьютере. Иными словами, он с помощью формул нарисовал вполне узнаваемый горный пейзаж.
Принцип, который использовал Лорен для достижения цели, был очень прост. Он состоял в том, чтобы разделять более крупную геометрическую фигуру на мелкие элементы, а те, в свою очередь, делить на аналогичные фигуры меньшего размера.
Используя более крупные треугольники, Карпентер дробил их на четыре мелких и затем повторял эту процедуру снова и снова, пока у него не получался реалистичный горный ландшафт. Таким образом, ему удалось стать первым художником, применившим в компьютерной графике фрактальный алгоритм для построения изображений. Как только стало известно о проделанной работе, энтузиасты по всему миру подхватили эту идею и стали использовать фрактальный алгоритм для имитации реалистичных природных форм.
Одна из первых визуализаций 3D по фрактальному алгоритму
Всего через несколько лет свои наработки Лорен Карпентер смог применить в куда более масштабном проекте. Аниматор создал на их основе двухминутный демонстрационный ролик Vol Libre, который был показан на Siggraph в 1980 году. Это видео потрясло всех, кто его видел, и Лоурен получил приглашение от Lucasfilm.
Анимация рендерилась на компьютере VAX-11/780 от Digital Equipment Corporation с тактовой частотой пять мегагерц, причем прорисовка каждого кадра занимала около получаса.
Работая для Lucasfilm Limited, аниматор создавал по той же схеме трехмерные ландшафты для второго полнометражного фильма саги Star Trek. В фильме «Гнев Хана» (The Wrath of Khan) Карпентер смог создать целую планету, используя тот же самый принцип фрактального моделирования поверхности.
В настоящее время все популярные приложения для создания трехмерных ландшафтов используют аналогичный принцип генерирования природных объектов. Terragen, Bryce, Vue и прочие трехмерные редакторы полагаются на фрактальный алгоритм моделирования поверхностей и текстур.
⇡#Фрактальные антенны: лучше меньше, да лучше
За последние полвека жизнь стремительно стала меняться. Большинство из нас принимает достижения современных технологий как должное. Ко всему, что делает жизнь более комфортной, привыкаешь очень быстро. Редко кто задается вопросами «Откуда это взялось?» и «Как оно работает?». Микроволновая печь разогревает завтрак — ну и прекрасно, смартфон дает возможность поговорить с другим человеком — отлично. Это кажется нам очевидной возможностью.
Но жизнь могла бы быть совершенно иной, если бы человек не искал объяснения происходящим событиям. Взять, например, сотовые телефоны. Помните выдвижные антенны на первых моделях? Они мешали, увеличивали размеры устройства, в конце концов, часто ломались. Полагаем, они навсегда канули в Лету, и отчасти виной тому… фракталы.
Фрактальные рисунки завораживают своими узорами. Они определенно напоминают изображения космических объектов — туманностей, скопления галактик и так далее. Поэтому вполне закономерно, что, когда Мандельброт озвучил свою теорию фракталов, его исследования вызвали повышенный интерес у тех, кто занимался изучением астрономии. Один из таких любителей по имени Натан Коэн (Nathan Cohen) после посещения лекции Бенуа Мандельброта в Будапеште загорелся идеей практического применения полученных знаний. Правда, сделал он это интуитивно, и не последнюю роль в его открытии сыграл случай. Будучи радиолюбителем, Натан стремился создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью.
Единственный способ улучшить параметры антенны, который был известен на то время, заключался в увеличении ее геометрических размеров. Однако владелец жилья в центре Бостона, которое арендовал Натан, был категорически против установки больших устройств на крыше. Тогда Натан стал экспериментировать с различными формами антенн, стараясь получить максимальный результат при минимальных размерах. Загоревшись идеей фрактальных форм, Коэн, что называется, наобум сделал из проволоки один из самых известных фракталов — «снежинку Коха». Шведский математик Хельге фон Кох (Helge von Koch) придумал эту кривую еще в 1904 году. Она получается путем деления отрезка на три части и замещения среднего сегмента равносторонним треугольником без стороны, совпадающей с этим сегментом. Определение немного сложное для восприятия, но на рисунке все ясно и просто.
Существуют также другие разновидности «кривой Коха», но примерная форма кривой остается похожей
Когда Натан подключил антенну к радиоприемному устройству, он был очень удивлен — чувствительность резко увеличилась. После серии экспериментов будущий профессор Бостонского университета понял, что антенна, сделанная по фрактальному рисунку, имеет высокий КПД и покрывает гораздо более широкий частотный диапазон по сравнению с классическими решениями. Кроме того, форма антенны в виде кривой фрактала позволяет существенно уменьшить геометрические размеры. Натан Коэн даже вывел теорему, доказывающую, что для создания широкополосной антенны достаточно придать ей форму самоподобной фрактальной кривой.
Автор запатентовал свое открытие и основал фирму по разработке и проектированию фрактальных антенн Fractal Antenna Systems, справедливо полагая, что в будущем благодаря его открытию сотовые телефоны смогут избавиться от громоздких антенн и станут более компактными.
В принципе, так и произошло. Правда, и по сей день Натан ведет судебную тяжбу с крупными корпорациями, которые незаконно используют его открытие для производства компактных устройств связи. Некоторые известные производители мобильных устройств, как, например, Motorola, уже пришли к мирному соглашению с изобретателем фрактальной антенны.
⇡#Фрактальные измерения: умом не понять
В своей книге Мандельброт рассказывает об одном очень интересном математическом парадоксе. Пятая глава книги «Фрактальная геометрия природы» посвящена, на первый взгляд, довольно простому вопросу: «Какова длина береговой линии Британии?» (аналогичная статья была опубликована им в журнале Science от 1967 года).
Этот вопрос Бенуа позаимствовал у знаменитого американского ученого Эдварда Каснера.
Последний, как и многие другие известные математики, очень любил общаться с детьми, задавая им вопросы и получая неожиданные ответы. Иногда это приводило к удивительным последствиям. Так, например, девятилетний племянник Эдварда Каснера придумал хорошо всем известное теперь слово «гугол», обозначающее единицу со ста нулями. Но вернемся к фракталам. Американский математик любил задавать вопрос, какова длина береговой линии США. Выслушав мнение собеседника, Эдвард сам говорил правильный ответ. Если измерять длину по карте ломаными отрезками, то результат окажется неточным, ведь береговая линия имеет большое количество неровностей. А что будет, если измерять максимально точно? Придется учитывать длину каждой неровности — нужно будет измерять каждый мыс, каждую бухту, скалу, длину скалистого уступа, камня на ней, песчинки, атома и так далее. Поскольку число неровностей стремится к бесконечности, измеренная длина береговой линии будет при измерении каждой новой неровности увеличиваться до бесконечности.
Чем меньше мера при измерении, тем больше измеряемая длина
Интересно, что, следуя подсказкам Эдварда, дети намного быстрее взрослых говорили правильное решение, в то время как у последних были проблемы с принятием такого невероятного ответа.
На примере этой задачи Мандельброт предложил использовать новый подход к измерениям. Поскольку береговая линия близка к фрактальной кривой, значит, к ней можно применить характеризующий параметр — так называемую фрактальную размерность.
Что такое обычная размерность — понятно любому. Если размерность равна единице, мы получаем прямую, если два — плоскую фигуру, три — объем. Однако такое понимание размерности в математике не срабатывает с фрактальными кривыми, где этот параметр имеет дробное значение. Фрактальную размерность в математике можно условно рассматривать как «неровность». Чем выше неровность кривой, тем больше ее фрактальная размерность. Кривая, обладающая, по Мандельброту, фрактальной размерностью выше ее топологической размерности, имеет аппроксимированную протяженность, которая не зависит от количества измерений.
В настоящее время ученые находят все больше и больше областей для применения теории фракталов. С помощью фракталов можно анализировать колебания котировок на бирже, исследовать всевозможные естественные процессы, как, например, колебание численности видов, или моделировать динамику потоков. Фрактальные алгоритмы могут быть использованы для сжатия данных, например для компрессии изображений. И кстати, чтобы получить на экране своего компьютера красивый фрактал, не обязательно иметь докторскую степень.
⇡#Фрактал в браузере
Пожалуй, один из самых простых способов получить фрактальный узор — воспользоваться онлайновым векторным редактором от молодого талантливого программиста Toby Schachman. В основе инструментария этого простого графического редактора лежит все тот же принцип самоподобия.
В вашем распоряжении имеется всего две простейших формы — четырехугольник и круг. Вы можете добавлять их на холст, масштабировать (чтобы масштабировать вдоль одной из осей, удерживайте клавишу Shift) и вращать. Перекрываясь по принципу булевых операций сложения, эти простейшие элементы образуют новые, менее тривиальные формы. Далее эти новые формы можно добавлять в проект, а программа будет повторять генерирование этих изображений до бесконечности. На любом этапе работы над фракталом можно возвращаться к любой составляющей сложной формы и редактировать ее положение и геометрию. Увлекательное занятие, особенно если учесть, что единственный инструмент, который вам нужен для творчества, — браузер. Если вам будет непонятен принцип работы с этим рекурсивным векторным редактором, советуем вам посмотреть видео на официальном сайте проекта, на котором подробно показывается весь процесс создания фрактала.
⇡#XaoS: фракталы на любой вкус
Многие графические редакторы имеют встроенные средства для создания фрактальных узоров. Однако эти инструменты обычно являются второстепенными и не позволяют выполнить тонкую настройку генерируемого фрактального узора. В тех случаях, когда необходимо построить математически точный фрактал, на помощь придет кроссплатформенный редактор XaoS. Эта программа дает возможность не только строить самоподобное изображение, но и выполнять с ним различные манипуляции. Например, в режиме реального времени вы можете совершить «прогулку» по фракталу, изменив его масштаб. Анимированное движение вдоль фрактала можно сохранить в виде файла XAF и затем воспроизвести в самой программе.
XaoS может загружать случайный набор параметров, а также использовать различные фильтры постобработки изображения — добавлять эффект смазанного движения, сглаживать резкие переходы между точками фрактала, имитировать 3D-картинку и так далее.
⇡#Fractal Zoomer: компактный фрактальный генератор
По сравнению с другими генераторами изображений фракталов Fractal Zoomer имеет несколько преимуществ. Во-первых, он совсем небольшой по размеру и не требует установки. Во-вторых, в нем реализована возможность определять цветовую палитру рисунка. Вы можете выбирать оттенки в цветовых моделях RGB, CMYK, HVS и HSL.
Также очень удобно использовать опцию случайного подбора цветовых оттенков и функцию инвертирования всех цветов на картинке. Для настройки цвета имеется функция цикличного перебора оттенков — при включении соответствующего режима программа анимирует изображение, циклично меняя на нем цвета.
Fractal Zoomer может визуализировать 85 различных фрактальных функций, причем в меню программы наглядно показываются формулы. Фильтры для постобработки изображения в программе имеются, хотя и в небольшом количестве. Каждый назначенный фильтр можно в любой момент отменить.
⇡#Mandelbulb3D: редактор трехмерных фракталов
Когда употребляется термин «фрактал», чаще всего подразумевается плоское двухмерное изображение. Однако фрактальная геометрия выходит за рамки 2D-измерения. В природе можно найти как примеры плоских фрактальных форм, скажем, геометрию молнии, так и трехмерные объемные фигуры. Фрактальные поверхности могут быть трехмерными, и одна из очень наглядных иллюстраций 3D-фракталов в повседневной жизни — кочан капусты. Наверное, лучше всего фракталы можно разглядеть в сорте романеско — гибриде цветной капусты и брокколи.
А еще этот фрактал можно съесть
Создавать трехмерные объекты с похожей формой умеет программа Mandelbulb3D. Чтобы получить трехмерную поверхность с использованием фрактального алгоритма, авторы данного приложения, Дениэл Уайт (Daniel White) и Пол Ниландер (Paul Nylander), преобразовали множество Мандельброта в сферические координаты. Созданная ими программа Mandelbulb3D представляет собой самый настоящий трехмерный редактор, который моделирует фрактальные поверхности разных форм. Поскольку в природе мы часто наблюдаем фрактальные узоры, то искусственно созданный фрактальный трехмерный объект кажется невероятно реалистичным и даже «живым».
Он может походить на растение, может напоминать странное животное, планету или что-нибудь другое. Этот эффект усиливается благодаря продвинутому алгоритму визуализации, который дает возможность получать реалистичные отражения, просчитывать прозрачность и тени, имитировать эффект глубины резкости и так далее. В Mandelbulb3D имеется огромное количество настроек и параметров визуализации. Можно управлять оттенками источников света, выбирать фон и уровень детализации моделируемого объекта.
Фрактальный редактор позволяет создавать анимацию. Вы не только конфигурируете трехмерное множество Мандельброта, но и можете его вращать, масштабировать и менять параметры с течением времени.
⇡#Генератор трехмерных фракталов Incendia
Incendia — это мультипроцессорный генератор трехмерных фракталов, разработанный испанским программистом Ramiro Perez, который изучает фракталы с 1989 года.
Фрактальный редактор Incendia поддерживает двойное сглаживание изображения, содержит библиотеку из полусотни различных трехмерных фракталов и имеет отдельный модуль для редактирования базовых форм.
Приложение использует фрактальный скриптинг, с помощью которого можно самостоятельно описывать новые типы фрактальных конструкций. В Incendia есть редакторы текстур и материалов, а движок визуализации позволяет использовать эффекты объемного тумана и различные шейдеры. В программе реализована опция сохранения буфера при длительном рендеринге, поддерживается создание анимации.
Incendia позволяет экспортировать фрактальную модель в популярные форматы трехмерной графики — OBJ и STL. В состав Incendia включена небольшая утилита Geometrica — специальный инструмент для настройки экспорта фрактальной поверхности в трехмерную модель. С помощью этой утилиты можно определять разрешение 3D-поверхности, указывать число фрактальных итераций. Экспортированные модели могут быть использованы в 3D-проектах при работе с такими трехмерными редакторами, как Blender, 3ds max и прочие.
В последнее время работа над проектом Incendia несколько затормозилась. На данный момент автор ищет спонсоров, которые помогли бы ему развивать программу.
Если вам не хватает фантазии нарисовать в этой программе красивый трехмерный фрактал — не беда. Воспользуйтесь библиотекой параметров, которая находится в папке INCENDIA_EX\parameters. С помощью файлов PAR вы сможете быстро найти самые необычные фрактальные формы, в том числе и анимированные.
⇡#Aural: как поют фракталы
Мы обычно не рассказываем о проектах, работа над которыми только ведется, однако в данном случае мы должны сделать исключение, уж очень это необычное приложение. Проект под названием Aural придумал тот же человек, что и Incendia. Правда, на этот раз программа не визуализирует фрактальное множество, а озвучивает его, превращая в электронную музыку. Идея очень любопытная, особенно если учесть необычные свойства фракталов. Aural — это аудиоредактор, генерирующий мелодии с использованием фрактальных алгоритмов, то есть, по сути, это звуковой синтезатор-секвенсор.
Последовательность звуков, выдаваемая этой программой, необычна и… красива. Она вполне может пригодиться для написания современных ритмов и, как нам кажется, особенно хорошо подходит для создания звуковых дорожек к заставкам телевизионных и радиопередач, а также «петель» фоновой музыки к компьютерным играм. Рамиро пока не предоставил демонстрационной версии своей программы, но обещает, что, когда он это сделает, для того, чтобы работать с Aural, не нужно будет изучать теорию фракталов — достаточно просто поиграться с параметрами алгоритма генерирования последовательности нот. Послушать, как звучат фракталы, можно здесь и тут.
Фракталы: музыкальная пауза
Вообще-то фракталы могут помочь написать музыку даже без программного обеспечения. Но это может сделать только тот, кто по-настоящему проникнут идеей природной гармонии и при этом не превратился в несчастного «ботана». Тут есть смысл брать пример с музыканта по имени Джонатан Колтон (Jonathan Coulton), который, помимо всего прочего, пишет композиции для журнала Popular Science. И не в пример другим исполнителям, Колтон все свои произведения публикует под лицензией Creative Commons Attribution-Noncommercial, которая (при использовании в некоммерческих целях) предусматривает свободное копирование, распространение, передачу произведения другим лицам, а также его изменение (создание производных произведения), чтобы приспособить его к своим задачам.
У Джонатана Колтона, конечно же, есть песня про фракталы.
⇡#Заключение
Во всем, что нас окружает, мы часто видим хаос, но на самом деле это не случайность, а идеальная форма, разглядеть которую нам помогают фракталы. Природа — лучший архитектор, идеальный строитель и инженер. Она устроена очень логично, и если где-то мы не видим закономерности, это означает, что ее нужно искать в другом масштабе. Люди все лучше и лучше это понимают, стараясь во многом подражать естественным формам. Инженеры проектируют акустические системы в виде раковины, создают антенны с геометрией снежинок и так далее. Уверены, что фракталы хранят в себе еще немало секретов, и многие из них человеку еще лишь предстоит открыть.