Функция параболы что за что отвечает
Парабола свойства и график квадратичной функции
Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.
Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.
Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.
Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.
Что такое парабола и как она выглядит
Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.
Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:
Каноническое уравнение параболы
На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.
Каноническое уравнение имеет вид:
где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).
В алгебре оно запишется иначе:
y = a x2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x2).
Свойства и график квадратичной функции
Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.
Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.
Как определить, куда направлены ветви параболы
Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.
Как найти вершину параболы по формуле
Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.
Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.
Формулы нахождения вершины:
Пример.
Имеется функция у = 4 * x2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.
Смещение параболы
Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0, 0).
Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.
Пример.
Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 по оси ординат.
Как строить параболу по квадратному уравнению
Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.
Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:
Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:
Для этого нужно приравнять выражение к нулю.
Наличие корней параболы зависит от результата:
Получаем алгоритм построения параболы:
Пример 1.
Дана функция у = х2 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:
По полученным точкам можно построить параболу.
Пример 2.
Для функции у = 3 * х2 2 * х 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:
По полученным точкам можно построить параболу.
Директриса, эксцентриситет, фокус параболы
Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).
Эксцентриситет (константа) = 1.
Заключение
Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.
Квадратичная функция. Парабола
Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют функцией в математике.
Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика) дальнейшее изучение других видов функций будет даваться значительно легче.
Что называют квадратичной функцией
Квадратичная функция — это функция вида
Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень, в которой стоит « x » — это « 2 », то перед нами квадратичная функция.
Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты « a », « b » и « с ».
Как построить график квадратичной функции
График квадратичной функции называют параболой.
Парабола выглядит следующим образом.
Также парабола может быть перевернутой.
Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции. Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.
Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.
Построим график квадратичной функции « y = x 2 −7x + 10 ».
Если « a > 0 », то ветви направлены вверх. 
Если « a », то ветви направлены вниз. 
В нашей функции « a = 1 », это означает, что ветви параболы направлены вверх.
Чтобы найти « x0 » (координата вершины по оси « Ox ») нужно использовать формулу:
Найдем « x0 » для нашей функции « y = x 2 −7x + 10 ».
Теперь нам нужно найти « y0 » (координату вершины по оси « Oy »). Для этого нужно подставить найденное значение « x0 » в исходную функцию. Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке «Как решать задачи на функцию» в подразделе «Как получить значение функции».
Выпишем полученные координаты вершины параболы.
(·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.
Отметим вершину параболы на системе координат. Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график относительно оси « Oy ».
Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.
Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью « Ox » (осью абсцисс).
Наглядно нули функции на графике выглядят так:
Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата по оси « Oy » равна нулю.
Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.
Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо « y = 0 ».
0 = x 2 −7x + 10
x 2 −7x + 10 = 0
x1;2 =
| 7 ± √ 49 − 4 · 1 · 10 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| 7 ± √ 9 |
| 2 |
x1;2 =
| 7 ± 3 |
| 2 |
x1 =
| x2 =
| ||||
x1 =
| x2 =
| ||||
| x1 = 5 | x2 = 2 |
Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения с осью « Ox ». Назовем эти точки и выпишем их координаты.
Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.
Возьмем четыре произвольные числовые значения для « x ». Целесообразно брать целые числовые значения на оси « Ox », которые наиболее близки к оси симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.
Для каждого выбранного значения « x » рассчитаем « y ».
Запишем полученные результаты в таблицу.
| x | 1 | 3 | 4 | 6 |
| y | 4 | −2 | −2 | 4 |
Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).
Теперь мы готовы построить график. На забудьте после построения подписать график функции.
Краткий пример построения параболы
Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции. Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.
Пусть требуется построить график функции « y = −3x 2 − 6x − 4 ».
x0 =
| −b |
| 2a |
x0 =
| −(−6) |
| 2 · (−3) |
=
| 6 |
| −6 |
= −1
y0(−1) = (−3) · (−1) 2 − 6 · (−1) − 4 = −3 · 1 + 6 − 4 = −1
(·) A (−1; −1) — вершина параболы.
Точки пересечения с осью « Ox » ( y = 0 ).
x1;2 =
| −6 ± √ 6 2 − 4 · 3 · 4 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| −6 ± √ 36 − 48 |
| 2 |
x1;2 =
| −6 ± √ −12 |
| 2 |
Ответ: нет действительных корней.
Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось « Ox ».
Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки « (−2; −4) » и « (0; −4) ». Построим и подпишем график функции.
Квадратичная функция. Построение параболы
8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.
Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.
Построение квадратичной функции
Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:
График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :
Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:
Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:
Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:
Рассмотрим три случая:
Если a > 0, то график выглядит как-то так:
0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>
На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.
Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:
Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.
Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).
На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:
Алгоритм построения параболы
Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.
Как строим:
В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:
Как строим:
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)
Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).
Как строим:
Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:
(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.
Определим координаты вершины параболы:
Найти точку пересечения с осью OY:
с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.
Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.
Квадратичная функция (ЕГЭ 2022)
Проверь себя, ответь на эти вопросы:
В конце статьи ты будешь знать ответы на эти вопросы.
Квадратичная функция — коротко о главном
Квадратичная функция – функция вида \( y=a<
^<2>>+bx+c\), где \( a\ne 0\), \( b\) и \( c\) – любые числа (коэффициенты), \( c\) – свободный член.
График квадратичной функции – парабола.
Вершина параболы: \( \displaystyle <
Квадратичная функция вида: \( y=a<
Чем больше значение \( \displaystyle a\) (по модулю), тем у́же становится парабола (ветви становятся более крутыми). И наоборот, чем меньше \( \displaystyle a\), тем парабола шире.
Варианты расположения параболы в зависимости от коэффициента \( \displaystyle a\) и дискриминанта \( \displaystyle D=<^<2>>-4ac\).
Что такое функция?
Не знаешь? Тогда сперва прочитай тему «Функции» – она несложная, но очень важная.
А мы пока повторим.
Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).
То есть, если у тебя есть функция \( y=f\left( x \right)\), это значит что каждому допустимому значению переменной \( x\) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной \( y\) (называемой «функцией»).
Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции».
Все дело в понятии «область определения»:
Для некоторых функций не все аргументы можно подставить в зависимость.
Например, для функции \( y=\sqrt
Кстати, а с линейной функцией ты уже дружишь? Про нее все написано в теме «Линейная функция» – там ты поймешь, что в функциях ничего страшного нет и научишься понимать и использовать коэффициенты (это циферки перед буквой \( x\)).
И еще, надеюсь, ты умеешь решать квадратные уравнения? Освежить память можно, почитав тему «Квадратные уравнения».
Квадратичная функция — подробнее
Квадратичная функция – это функция вида \( y=a<
^<2>>+bx+c\), где \( a\ne 0\), \( b\) и \( c\) – любые числа (они и называются коэффициентами).
Число \( a\) называют старшим или первым коэффициентом такой функции, \( b\) – вторым коэффициентом, а \( c\) – свободным членом.
Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.
Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения \( D\left( y \right)\) и область значений\( E\left( y \right)\).
Какими могут быть значения аргумента квадратичной функции \( y=a<
Значит, область определения – все действительные числа:
А теперь множество значений. Все ли значения может принимать функция?
Достаточно рассмотреть самую простую квадратичную функцию \( y=<
\), чтобы убедиться в обратном: ведь какое бы число мы не возводили в квадрат, результат всегда будет больше или равен нулю.
Значит, эта функция всегда не меньше нуля.
А вот больше нуля она может быть сколько угодно: ведь бесконечно большой x в квадрате будет еще больше.
Таким образом, можем написать для \( y=<
В каждом отдельном случае область значений будет разная, но всегда – ограниченная.
График квадратичной функции
Наверняка ты слышал, что график квадратичной функции называется параболой. Как она выглядит? Сейчас нарисуем
Кстати мы очень подробно разобрали как быстро и правильно рисовать параболу. Переходи по ссылке и всему научишься.
Начнем с простейшей квадратичной функции – \( y=<
Составим таблицу значений:
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Нарисуем эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией:
Именно так и выглядит парабола. Самая нижняя ее точка называется вершиной, а части спарва и слева от вершины называем ветвями параболы. Как видим, ветви симметричны относительно вертикали, проходящей через вершину.
Рассмотрим теперь другую функцию: \( y=<
Составим таблицу значений:
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 5 | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | 5 |
Сравним два рисунка.
Видно, что это как будто одна и та же парабола, просто расположенная в разных местах.
Во второй параболе вершина переместилась в точку \( \left( 1;-4 \right)\), а ветви переехали вместе с ней.
Да, так оно и есть: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом, a выглядят одинаково – даже при разных остальных коэффициентах.
Кстати, если хочешь научиться быстро и правильно рисовать график квадратичной функции, то переходи по ссылке, там отличная статья.
Коэффициенты квадратичной функции
Давай разберем, на что влияют коэффициенты квадратичной функции.
Начнем со старшего коэффициента.
Будем рассматривать функции вида \( y=a<
Что ты видишь? Чем они отличаются? Какую закономерность можно заметить?
Во-первых, это невозможно не заметить, если \( \displaystyle \mathbf \mathbf<0>\) – вверх.
Значит, если парабола пересекает ось \( \displaystyle Ox\) в двух точках, то у нас два корня квадратного уравнения.
Если не пересекает – корней нет.
Но бывает ведь, что дискриминант уравнения равен нулю, и тогда только один корень. В этом случае парабола касается оси \( \displaystyle Ox\) вершиной:
А что такое вершина параболы?
Вершина параболы
Корень уравнения в этом случае указывает на вершину параболы. Если вспомнить формулу корня квадратного уравнения при \( \displaystyle D=0\), получим формулу вершины:
Это тоже бывает очень полезно.
Итак, всего возможны шесть разных вариантов расположения параболы. Вот они все на одном рисунке:
А теперь порешаем задачки.
Решение задач
1. График какой из функций избражен на рисунке?
2. Найдите сумму корней квадратного уравнения \( a<
3. Найдите произведение корней квадратного уравнения \( a<
4. По графику функции \( y=<
Решения
1. Первое: куда «смотрят» ветви параболы? Вниз. А что это значит? Правильно, \( \displaystyle a
Преобразования графиков функций (ЕГЭ 18. Задачи с параметром)
Научились строить график какой-то функции? А что, если я теперь поменяю один из коэффициентов? Или «заключу» часть функции в модуль?
Можно ли не строить для этого новый график, а просто передвинуть/растянуть старый?
Можно! И на этом уроке мы научимся производить такие трансформации.
Благодаря таким трансформациям мы станем понимать, как выглядят графики функций при всех значениях параметра и научимся решать задачи из ЕГЭ на эту тему.