Как сделать доказательства по геометрии

Ориентировочная деятельность при обучении доказательству теорем

Разделы: Математика

Известно, что доказательство теорем является главным камнем преткновения учащихся при изучении школьного курса геометрии. Они заучивают теоремы, воспроизводят их учителю и … забывают. Если изменить положение чертежа, обозначить его другими буквами, то учащиеся часто не могут справиться с доказательством. Изучение теорем у многих учащихся остаётся на уровне простого заучивания, не приводит к формированию приёмов доказательства, составляющих важную часть математического мышления. Эта проблема является объектом внимания не только преподавателей геометрии, математиков-методистов, но и психологов.

Центральным звеном доказательства геометрических утверждений, является нахождение пути его осуществления, что во многом зависит от овладения учащимися ориентировочной деятельностью. Выделим компоненты ориентировочной деятельности, кратко рассмотрим сущность каждого из них.

1. Распознавание понятий.

Умение распознавать геометрические понятия, входящие в условие доказываемых утверждений, особенно важно тогда, когда признаки этих понятий содержатся в условии в опосредованном виде, т.е. заданы через системы признаков других понятий. Существует довольно большая категория теорем (как и задач на доказательство), доказательство которых сводится к обоснованию наличия в условиях этих теорем того или иного геометрического понятия. Доказать такого рода теорему– это значит подвести заданные в её условии геометрические явления под искомое понятие, т.е. проверить обладают ли геометрические явления, заданные в условии, всеми необходимыми и достаточными признаками искомого понятия, содержащегося в заключении.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Посмотрим, какие признаки заданы в условии.

Выделим признаки, по которым можно указать, что требуется.

Но даже хорошо владея действиями “распознавание понятий” и зная признаки искомого понятия, ученик может не знать, как найти их, как системой одних обнаружить систему других. Например, чтобы доказать, что BD – высота, надо “ развернуть” понятие и увидеть, что скрывается за этим понятием. Таким образом, формирование полноценной системы понятий является очень важным условием целостности доказательства теорем, однако это лишь предварительные условия.

2. Проведение анализа состава доказываемого утверждения.

Необходимо обучать учащихся этому. Успешному осуществлению такого рода анализа способствует использование следующей системы указаний по его проведению:

1) Выделить условие и требование доказываемого утверждения; сделать их сокращённую запись.

2) Начать изучение условия по чертежу. При выполнения рисунка избегать частных случаев, выделить на рисунке (цветом или толщиной линии) данные и искомые величины.

3) Сформулировать определения тех понятий, которые содержатся в условии и заключении.

3. Поиск плана доказательства.

При поиске плана доказательства утверждений полезно использовать следующие указания:

1) Вспомнить и применить теорему (или другое истинное утверждение), которое непосредственно устанавливает зависимость между данными и искомыми величинами.

2) Сделать попытку расчленить данное утверждение на ряд более простых утверждений, последовательное доказательство которых может привести к искомому доказательству.

3) Вспомнить утверждение, аналогичное данному. Воспользоваться способом его доказательства.

4) Если возникает трудность при доказательстве равенства двух величин, то одну из них или обе заменить равносильными и доказывать равенство последних.

5) При необходимости заменить утверждение, которое надо доказать, другим, равносильным данному.

Вернёмся к нашему примеру.

Сопоставим заключение с условием. Из условия видно, что BD – это 1) отрезок, 2) проведённый из вершины В, 3) соединяющий В с точкой на противолежащей стороне.

1.Чтобы доказать, что BD – медиана, достаточно показать, что AD = DC.

Вспомним признаки равенства отрезков, мы знаем, что

а) два отрезка равны, если при наложении они совпадают;

б) два отрезка равны, если их длины равны;

г) два отрезка равны, если они являются отрезками соответственно равных фигур.

Выберем признак, который нам нужен. Это г).

Осталось доказать, что ABD = CBD

ABD = CBD по 1 признаку

AB = BC по условию, т.к. ABC – равнобедренный

ABD = CBD, т.к. BD биссектриса.

Из равенства треугольников следует AD = DC.

2. Что бы доказать, что BD – высота, достаточно показать, что BD AC.

Развернем условие BD AC.

а) прямые BD и AC пересекаются под прямым углом;

б) ADB – прямой, CDB – прямой;

в) хотя бы один из углов прямой;

г) ADB и CDB смежные и равны.

АВD = CBD, значит ADB = CDB, кроме того они смежные, т.е. BD – высота АВC.

Для доказательства теоремы необходимо было подвести данное условие, под понятие “медиана” и “высота”. Как видно из этого примера при доказательстве теорем учащийся должен обладать умением выводить следствие из условия. А это необходимо формировать.

4. Доказательства вспомогательных утверждений.

Этот компонент ориентировочной деятельности часто облегчает пути доказательства основного утверждения. Важное значение при этом имеет выработка умения переносить принцип доказательства со вспомогательного утверждения на основное. Это умение, как показали исследования, базируется на проведении анализа условия вспомогательного утверждения через его соотнесения с требованием данного.

Например, утверждение “Если AОB = CОB, то DB AC и AB = AC, BAD = CAD. Доказать, что DC = DB.” являются вспомогательными для теоремы о свойстве биссектрисы, проведенной к основанию равнобедренного треугольника.

5. Применение указаний по использованию конкретных методов доказательств.

Группой ученых психологов под руководством Н. Талызиной проведены исследования, которые позволили установить, что все теоремы, изучаемые в школе, могут быть доказаны с помощью трех методов:

а) метод подведения под понятие, путем выделения системы необходимых признаков, скрытых за другими понятиями;

б) метод доказательства от противного;

в) использование дополнительных построений.

Суть метода от противного.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Т.е. получим противоречие с условием теоремы. Таким образом, утверждение, что AB и CD скрещивающиеся верно. Теорема доказана.

6. Применение обучающих алгоритмов доказательств определенных типов утверждений.

Следует отметить, что, чем лучше учащиеся владеют различными алгоритмами доказательства тех или иных типов утверждений, тем выше уровень их умений осуществлять поиски доказательств. Если обратиться к задачникам геометрии, то нетрудно заметить, что можно выделить ряд общих алгоритмов доказательства определенных типов теорем. Рассмотрим некоторые из них.

Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками на которые делится гипотенуза этой высотой.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Сравнивая эти теоремы можно увидеть общие логические шаги. Найденный обобщенный прием работы по доказательству оформим в виде алгоритма.

При обучении учащихся самостоятельно конструированию алгоритмов в процессе доказательства теорем можно использовать различные проблемные ситуации, ставящие ученика в положение исследователя. Чем отличаются доказательства рассмотренных теорем? Что общего можно выделить в рассмотренных доказательствах? Выпишите общие компоненты обоих доказательств. Такова должна быть методика по обучению доказательств с помощью алгоритмов.

Опыт показывает, что систематическое проведение работы по ориентировочной деятельности учащихся по усвоению и обучению доказательств теорем обеспечивает повышение умения доказывать утверждения и решать задачи.

Источник

Как доказывать теоремы?

Смотрите видео

Процедура доказательства теоремы только кажется сложной. Достаточно уметь логически мыслить, иметь необходимые знания по данной научной дисциплине, и доказать теорему для вас не составит труда. Важно выполнять все действия четко в правильной последовательности.

В некоторых науках, к примеру, в алгебре и геометрии, одним из важнейших умений является умение доказывать теоремы. Это связано с тем, что доказанные теоремы впоследствии пригодятся для того, чтобы решать задачи. Нужно не просто выучить алгоритм доказательства, а суметь понять ее суть. Давайте разберемся, как доказывать теоремы.

Доказательство теорем

Для начала следует сделать чертеж, он должен быть четким и аккуратным. После этого нужно отметить на нем заданные условия. В графе «Дано» нужно записать все величины, которые вам изначально известны, и то, что нужно доказать. После этого можно заняться доказательством. По сути, это цепочка логически выстроенных мыслей, которые позволяют показать то, что какое-либо утверждение является верным. Доказательство теоремы подразумевает использование других теорем, аксиом, применение действия от противного и т.д.

Итак, доказательством теоремы является определенная последовательность действий, позволяющих получить утверждение, истинность которого нельзя оспорить. Как правило, наиболее трудным во время доказательства является как раз поиск последовательности логических рассуждений. Если же это удастся, то вы сможете доказать то, что от вас требовалось.

Как доказывать теоремы по геометрии без труда

Чтобы упростить себе задачу, можно разбить теорему на части, и доказывать каждую из них по отдельности, что в итоге приведет вас к результату. В некоторых случаях эффективно использовать метод «доказательства от противного». Тогда нужно начинать со слов «предположим обратное». Следует объяснить, почему в данном случае то или иное заключение невозможно. Заканчивать нужно словами «значит, первоначальное утверждение является верным. Теорема доказана».

Еще больше полезной информации по геометрии можно найти в разделе Геометрия.

Источник

Методика работы с планиметрической задачей на доказательство.
методическая разработка по геометрии на тему

Из опыта работы на курсах повышения квалификации. Методика работы с планиметрической задачей на доказательство.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Методика работы с планиметрической задачей на доказательство.

1. Анализ условия и построения чертежа.

Цель : краткая запись и чертёж ( тем самым обнаруживаем связь между данными и искомыми)

Чертёж появляется одновременно с краткой записью.

2. Поиск путей доказательства.

Цель : составление плана решения задачи.

Какими путями осуществляется? (анализом и синтезом)

Поиск решения оформляется в виде граф- схемы. С её помощью составляется план решения задачи. (Составлением плана заканчивается этот этап)

3. Оформление решения.

Цель получить обоснованную запись реализации плана решения задачи.

Планы составляем учитывая, что этапы должны быть крупные, их не должно быть много. (Делим их по признаку: С какими фигурами работаем сначала? Зачем? Почему? Какой вывод?)

Оформлять удобно с помощью трафарета.

Рассм ∆… и ∆… В них:

4. Исследование задачи.

Цель: 1) найти иные способы решения

2) узнать всегда ли задача имеет решение

На каком этапе работы с задачей на доказательство можно обнаружить другие способы решения?

— на этапе поиска путей доказательства.

Предварительный просмотр:

Вопросы, связанные с проблемами учащихся по решению геометрических задач и ответы на них.

1. Как научить учащихся правильно делать чертёж и наносить на него данные задачи?

Все варианты, появившиеся у учащихся чертежей, выносятся на доску; далее следует обсуждение:

« Какой фигуре идёт речь? Как её построить? Как отметить на чертеже, что построена именно эта фигура? И т. Д.»

2. Как научить учащихся подбирать теорию, которую можно использовать при решении той или иной задачи?

1 Что может быть известно, чтобы можно было найти углы треугольника?

Вид; углы при основание равнобедренного треугольника; угол в прямоугольном треугольнике; и т.д.

2 Что может быть известно, чтобы можно было найти длину отрезка?

3 Из каких условий можно сделать вывод о параллельности.

3. Каким образом выбирается метод решения?

У каждого метода есть свои признаки, их называют через ситуации.

Метод от противного : можно ли, будет ли, верно ли.

Алгебраический метод : когда не хватает данных

Но есть универсальные методы: координатный и векторный.

4. Как вести поиск способа решения сложной задачи?

Письменно вести диалог с самим собой:

Какие вопросы желательно задавать самому себе?

1 Что можно найти по данным задачи?

Отметить на рис. То, что можно было бы вычислить

2 Что можно найти в _, если известны ____?

3. Что надо знать, чтобы можно было найти?

4. Откуда в принципе я смогу ответить на вопрос?

Список идей, возникает набор теоретических фактов

5. Как можно иначе посмотреть на чертёж?

6. Как можно сказать об этих условиях, об этих словах, которые участвуют

7 Построить как можно более точный чертёж

Основные методы решения геометрических задач.

Все задачи можно разбить на три группы:

Задачи на вычисление

Задачи на построение

Задачи на доказательство

Метод вспомогательной величины

Метод вспомогательного треугольника

Метод геометрических мест

Метод геометрических преобразований:

Использование теорем –признаков

Метод от противного

Некоторые задачи требуют применения комбинации методов; задачи различных видов используют метод дополнительных построений, координатный и векторный методы.

Схема решения задач методом от противного.

Схема решения задач методом доказательства через равенство фигур.

Схема решения задач векторным методом

Схема решения задач координатным методом.

Схема решения задач методом вспомогательной величины ( задача решена методом вспомогательной величины если в решении введена некоторая величина или данное, но нет уравнения).

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Учебно методический комплект прикладного курса «Решение планиметрических задач» состоит из методического руководства, рабочей тетради для учащихся и рабочей программы прикладного курса. В.

(подборка планиметрических задач, охватывающие в своем решении наиболее важные теоремы планиметрии).

Урок геометрии в 11 классе с использованием групповой и парной работы.

Данный урок может являтся завершающим в повторении планиметрических задач группы В. Цели урока: Совершенствовать навыки решения планиметрических задач, повторить признаки равенства и подобия треуголь.

Цель урока: обеспечение усвоения сведений об окружности Тип урока: Обобщение знаний об окружности. Решение всех типов задач ЕГЭ. Методы: Объяснительно-иллюстративный. Вид урока: теоретических и пра.

Из опыта работы на курсах повышения квалификации. Методика работы с планиметрической задачей на доказательство. Геометрия 7 класс.

Вматериале указаны цели изадачи подготовки выпускников к ОГЭ по математике. Предложена подборка планиметрических задач по геометрии по темам 7-9 класса.

Источник

Начальное обучение решению геометрических задач на доказательство

Начальное обучение решению геометрических задач на доказательство.

В геометрии различают три типа задач.

Можно считать, что задачи на доказательство являются теоремами, но не вошедшими в курс геометрии.

Как решить задачу на доказательство? Какие методы и приемы для этого использовать? Коротко можно ответить так: задачи на доказательство надо решать так, как доказываются теоремы школьного курса геометрии. Но теоремы доказывается учителем, и от учащихся требуется лишь пассивная роль. Поэтому к решению задач на доказательство в классе надо серьезно подходить с самого начала изучения первых теорем геометрии и строить работу с учащимися, поэтапно формулируя у них следующие умения:

* 1-й этап: умение делать чертеж к задаче;

*2-й этап: умение записывать условие и требование задачи;

*3-й этап: умение» видеть» то, что изображено на чертеже;

*4-й этап: умение решать задачу самостоятельно.

В дальнейшем следует уделить внимание формированию:

— умению выполнять дополнительные построения;

— умения выбирать метод решения.

Приведу примеры, как это можно организовать работу в каждом случае.

*Формирование умения делать чертеж к задаче

Учащимся дается текст задачи. Им предлагается построить чертеж, а затем предлагается записать условие.

Задача1. Докажите, что если две высоты треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Дано: АВС,

АА— высота,

СС— высота,

АА = СС.

Доказать: АВС – равнобедренный.

*Развитие умения записывать условие и требование задачи

Учащиеся знакомятся с текстом задачи (его читает учитель или они сами по учебнику), а чертеж к ней дает учитель. Затем дети самостоятельно записывают условие и требование задачи.

Задача 2. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.

Ученикам дается чертеж. Запись условия и требования выглядит так:

Дано: АВС,

АА— медиана.

СС— медиана.

Доказать: АА = СС.

Таким образом, к завершению третьего этапа начального обучения решению геометрических задач учащиеся понимают, что значит доказать то или иное положение, умеют выделять условия и требования задачи, знают, в чем состоит назначение чертежа.

*Развитие умения «видеть» то, что изображено на чертеже

Речь идет об умении находить на чертеже данные и искомые величины, установить зависимость

между ними и затем, используя их и полученные знания, приходить к требуемому выводу.

Приведем пример. Используя ИКТ рассматриваем чертеж и таблицу с условием трех задач.

5= 6.

CAB = DBA.

Доказать: 1 = 2.

Работа с учащимися проходит следующим образом. Задача 1 решается устно с наводящих вопросов учителя (в скобках приведены ответы учащихся).

В какие треугольники входят данные и искомые величины? (В треугольники ABD u BAC). Есть ли у этих треугольников общий элемент? Если есть, то какой? (Да, сторона АВ). По какому признаку равны указанные треугольники? ( По двум сторонам и углу между ними: AD = ВC, АВ – общая сторона, 5 = 6)

4. Какие еще стороны равны у этих треугольников? (Стороны АС и BD).

Затем один из учащихся записывает решение на доске, а остальные – в тетрадях. Приведем запись решения.

Рассмотрим треугольник ABC и треугольник BAD:

5 = 6 – по условию,

АВ – общая, тогда ABC = BAD по двум сторонам и углу между ними.

Задачи 2 и 3 ученикам предлагается решить самостоятельно. Полезно обсудить разные способы решения последней задачи.

* Самостоятельное решение задач

Задача 3. Внутри треугольника АВС дана точка О. Докажите, что ВОС >ВАС.

Чертеж, запись условия и требования выполняются на доске и в тетрадях под руководством учителя.

Дано: АВС,

Доказать: ВОС>ВАС.

Учитель дает указание: «Через точку О проведите отрезок АА(АВС), введите в рассмотрение углы

1 – 6 и примените теорему о внешнем угле треугольника». Само доказательство выполняется учащимися. Вот их рассуждения:

По теореме о внешнем угле треугольника имеем:

3 = 1 +5, 4 = 2 + 6.

Сложим почленно равенства, получим:

3 + 4 = ( 1 + 5) + ( 2 + 6) = (1 + 2) + ( 5 + 6),

3 + 4>1 + 2, т. е. ВОС>ВАС.

Задачи на доказательство нужно решать на протяжении всего курса геометрии в7классе. К сожалению,

В школьном учебнике, особенно в первых параграфах, почти нет легких ( решаюшихся в 1 – 2шага) задач на доказательство, поэтому приведем несколько их примеров ( оформим их как задачи по готовым чертежам, используя ИКТ).

2. Дано: ОВ OD,

OA OC.

Доказать: АОВ = COD.

3. Дано: 1 = 4,

2 = 3.

Доказать: CD AB.

4. Дано: 2 = 4,

Доказать: 1) 1 = 5;

2) 1 = 4;

3) 2 + 3 = 180.

O – общая точка прямых AC и BD.

6. Дано: 1 = 2,

3 = 4.

Доказать: АВС = ADC.

NK – биссектриса MND.

Доказать: MK NK.

*Развитие умения выполнять дополнительные построения

Рассмотрим, например, задачу: «В прямоугольном треугольнике АВС (С = 90) проведена медиана CD. Докажите, что CD = DB».

В данном случае возможны два различных дополнительных построения, приводящие к двум способам решения задачи.

Во – первых, можно отложить на луче CD отрезок DE = DC и свести решение к доказательству равенства гипотенуз треугольников АСВ и ЕВС, откуда следует, что CD = BD.

Во – вторых, можно провести к катетам треугольника АВС отрезки DМВС и DNАС и, опираясь моугольного треугольника на равенство образовавшихся треугольников, показать, что треугольник СDВ – равнобедренный.

Полезно не только обсудить, но и сравнить оба способа решения. К этой задаче следует вернуться в 8классе при изучении свойств прямоугольника. Для доказательства того, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, достаточно достроить треугольник до прямоугольника и воспользоваться свойством диагоналей.

* Умение выбирать метод решения

После решения каждой задачи следует остановиться на том, какие теоремы были использованы. Также очень важно в начале изучения курса геометрии применять метод от противного.

Рассмотрим, как можно это сделать, например, при решении последней задачи. Предварительно объясняем, в чем состоит метод от противного: сначала предполагается, что доказываемое утверждение неверно, затем в ходе рассуждения выясняется, что такое предположение само приводит к неверным умозаключениям.

Для отрезков CD и DB может выполняться одно из условий: CD = DB, CD DB (рис. 8)

Учащиеся устанавливают, что ни одно, ни другое неравенство невозможно. Разобьем доказательство на две части.

1) Докажем, что СD не может быть больше DВ. в таком случае

Допустим, что СD > DB, в таком случае 2 > 4 ( из треугольника СDВ). Учитывая, что АD = DВ, получим 1> 3 ( из треугольника ACD). Тогда 1 + 2 > 3 + 4 или 90> 90, что неверно.

2) Доказательство того, что СD не может быть меньше DВ, проводится аналогично.

Итак, возможен один случай: CD = DB.

Перечислим некоторые утверждения и теоремы школьного курса геометрии, которые могут быть доказаны метом от противного.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Если стороны одного треугольника соответственно параллельны сторонам другого треугольника, то соответствующие углы этих треугольников равны. Произвольный треугольник нельзя разрезать на два остроугольных треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме его внутренних углов, с ним не смежных.

Источник