Как сделать дробь под корнем

Как вынести из-под корня

Вынесение множителя из-под знака корня — это извлечение корня из одного из множителей (числа или буквы), которые находятся под корнем.

Говорят: «Число « 25 » вынесли из-под знака корня».

Рассмотрим подробнее пример вынесения множителя из-под знака корня.

Вынесите множитель из-под знака корня:

Извлечь квадратный корень из « √ 5 » целым числом не получится, поэтому нам остается только извлечь квадратный корень из « √ 16 ».

Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от « 1 » до « 15 » и таблицу часто используемых квадратных корней.

Вспомним, чему равен квадрат числа четыре?

Решение примера выше записываем следующим образом.

√ 16 · 5 = √ 16 · √ 5 = 4 · √ 5

Действие выше называют вынесением множителя из-под знака корня. Говорят: «Число « 16 » вынесли из-под знака корня, получив число « 4 ».

Примеры правильного и неправильного вынесения из-под знака корня:

Как вынести множитель из корня с одним числом

Рассмотрим пример, когда под корнем только одно число и по условию задания требуется вынести множитель из-под знака корня.

№ 524 (1) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

Извлечь целое число из квадратного корня « √ 8 » нельзя, так как нет такого целого числа, которое в квадрате давало бы « 8 ».

Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от « 1 » до « 15 » и таблицу часто используемых квадратных корней.

Подумаем, на какие множители можно разложить число « 8 », чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака корня. Вспоминаем таблицу умножения.

Число « 8 » — это произведение
« 8 = 4 · 2 ». Теперь можем вынести « 4 » из-под знака корня.

√ 8 = √ 4 · 2 = √ 4 · √ 2 = 2 √ 2

Разберем другие примеры вынесения множителя из-под знака квадратного корня

№ 524 (4) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

Зададим себе вопрос: «На какие множители нужно разложить « 54 », чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака квадратного корня?».

Видим число « 9 ». Подходит, так как « √ 9 = 3 ».

Завершим решение примера вынесением из-под знака корня числа « 9 ».

Извлечь « √ 6 » целым числом невозможно. Поэтому ответ оставляем в таком виде.

№ 524 (5) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

В примерах с числами, которые делятся на « 10, 100, 1000… » и так далее, стоит сразу попробовать разложить число на « 10, 100, 1000… » и второй множитель.

То есть число « 490 » можно разложить на « 490 = 49 · 10 ». Из « 49 » можно извлечь квадратный корень.

Теперь можно вынести « 49 » из-под знака корня.

√ 490 = √ 49 · 10 = 7 √ 10

№ 524 (6) Мерзляк 8 класс

№ 524 (8) Мерзляк 8 класс

√ 108 = √ 54 · 2 = √ 9 · 6 · 2 =

= 3 √ 6 · 2 = 3 √ 12 = 3 √ 4 · 3 =

№ 526 (6) Мерзляк 8 класс

0,4 · √ 250 = 0,4 · √ 25 · 10 =

Завершим пример, умножив десятичную дробь « 0,4 » на « 5 » по правилу умножения десятичной дроби на число.

0,4 · √ 250 = 0,4 · √ 25 · 10 =

№ 526 (8) Мерзляк 8 класс

Умножим дробь «

» на число « 3 », которое вынесли из-под знака квадратного корня. Используем правило умножения обыкновенной дроби на число.

· √ 63 =

· √ 9 · 7 =

· 3 √ 7 =

=

· √ 7 =

· √ 7 =

· √ 63 =

· √ 9 · 7 =

· 3 √ 7 =

=

· √ 7 =

· √ 7 =

· √ 7 =

Как вынести десятичную дробь из-под знака корня

В уроке «Как извлечь квадратный корень из дроби» мы разбирали, каким образом извлечь квадратный корень из десятичной дроби. Например, извлечение квадратного корня из десятичной дроби « √ 0,25 ».

Тот же самый метод используется при вынесении десятичной дроби из-под знака корня.

№ 524 (10) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

Разложим десятичную дробь на произведение множителей, чтобы потом была возможность вынести один из множителей из-под знака корня.

Подберем десятичную дробь, на которую делится « 0,48 », из которой потом можно извлечь квадратный корень.

Например, « 0,16 ». Десятичная дробь « 0,48 » делится на « 0,16 » нацело.

Извлечь квадратный корень из « √ 0,16 » по правилу нахождения квадратного корня из десятичной дроби.

Завершим пример вынесением « 0,16 » из-под знака корня.

Примеры вынесения десятичной дроби из-под знака квадратного корня

№ 524 (9) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

№ 526 (7) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

−2 · √ 0,18 = −2 · √ 0,09 · 2 =

Как вынести букву из-под знака корня

При вынесении из-под знака квадратного корня множителя в степени (буквы или числа) степень делится на « 2 ».

Рассмотрим примеры вынесения буквы в степени из-под корня.

№ 347 (2, 4) Колягин (Алимов) 8 класс

Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа).

2) √ 2x 2 = x

√ 2 = x √ 2

4) √ 3a 6 = a

√ 3 = a 3 √ 3

В более сложных примерах требуется вынести и числовой множитель, и букву в степени из-под корня.

№ 348 (2) Колягин (Алимов) 8 класс

Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа).

Вначале отдельно вынесем буквенный множитель из-под корня.

Теперь разложим число « 75 » на множители, один из которых можно вынести из-под знака квадратного корня.

Число « 75 » явно делится на « 5 ». Проверим, можно ли число « 75 » разложить на квадрат числа « 5 2 = 25 ».

Завершим пример, вынеся число « 25 » из-под знака корня.

√ 75a 2 = a

· √ 75 = a √ 75 =

№ 549 (2) Мерзляк 8 класс

Не всегда удается сразу вынести букву в степени из-под знака корня. В данном примере степень « 9 » не делится нацело на « 2 ».

Вспомним из урока «Свойства степени» правило произведение степеней с одинаковым основанием.

Свойство работает и в обратную сторону.

Вернемся к нашему примеру. Разложим « y 9 » на множители со степенями так, чтобы одна из степеней нацело делилась на « 2 ». Представим степень « 9 » как сумму чисел « 9 = 6 + 3 ».

Используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием в обратную сторону и разложим « у » на множители.

Источник

Как внести под знак корня

Внести множитель под знак квадратного корня — значит возвести множитель во вторую степень (в «квадрат») и поместить его под знак корня.

При внесении множитель умножается на подкоренное выражение.

7 √ 2 = √ 7 2 · √ 2 = √ 7 2 · 2 =

Рассмотрим на различных примерах, как вносить множитель под корень.

№ 527 (2) Мерзляк 8 класс

Внесите множитель под знак корня:

Возводим « 3 » во вторую степень и вносим под знак корня: « √ 3 2 ».

Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от « 1 » до « 15 » и таблицу часто используемых квадратных корней.

Замена « 3 = √ 3 2 » возможна, так как извлечение квадратного корня и возведение в квадрат — это взаимно обратные друг другу действия.

3 √ 13 = √ 3 2 · √ 13 = √ 3 2 · 13 =

Кратко внесение множителя под знак корня записывают следующим образом:

3 √ 13 = √ 3 2 · 13 = √ 9 · 13 = √ 108

Говорят: «Множитель « 3 » внесли под знак корня, получив « 9 ».

Примеры внесения множителя под знак корня

№ 350 (3) Колягин (Алимов) 8 класс

Внести множитель под знак корня:

2 ·

1 2

+

· √ 28 ;
Заменим « 2 » и «

» их квадратами под знаком квадратного корня.
2 ·

1 2

+

· √ 28 =
= √ 2 2 ·

1 2

+

( 1 2 ) 2

· √ 28 = …

2 ·

1 2

+

· √ 28 =
= √ 2 2 ·

1 2

+

( 1 2 ) 2

· √ 28 =
=

2 2 · 1 2

+

( 1 2 ) 2 · 28

=

=

4 · 1 2

+

( 1 2 ) 2 · 28

= …
Умножим « 4 » на дробь «

» по правилу умножения дроби на число.
2 ·

1 2

+

· √ 28 =
= √ 2 2 ·

1 2

+

( 1 2 ) 2

· √ 28 =
=

2 2 · 1 2

+

( 1 2 ) 2 · 28

=

=

4 · 1 2

+

( 1 2 ) 2 · 28

=
=

4 2 · 1 2 1

+

( 1 2 ) 2 · 28

=
= √ 2 +

( 1 2 ) 2 · 28

= …

Возведем в квадрат дробь « (

) 2 » по правилу возведения дроби в квадрат.
2 ·

1 2

+

· √ 28 =
= √ 2 2 ·

1 2

+

( 1 2 ) 2

· √ 28 =
=

2 2 · 1 2

+

( 1 2 ) 2 · 28

=

=

4 · 1 2

+

( 1 2 ) 2 · 28

=
=

4 2 · 1 2 1

+

( 1 2 ) 2 · 28

=
= √ 2 +

( 1 2 ) 2 · 28

=

= √ 2 +

1 2 2 2 · 28

=
= √ 2 +

1 4 · 28

=
= √ 2 +

1 · 28 7 4 1

= √ 2 + √ 7

Внесение отрицательного множителя под корень

При внесении отрицательного числа под знак квадратного корня минус всегда остается перед знаком корня.

Запомните правило: «При внесении отрицательного множителя> под знак квадратного корня минус всегда « остается за бортом! ».

№ 527 (4) Мерзляк 8 класс

Внесите множитель под знак корня:

Прежде чем вносить число « 10 » под знак корня, отдельно запишем знак минуса « − » как умножение на « −1 ».

Теперь внесем только положительное число « 10 » под знак корня, возведя его в квадрат. Знак минуса оставляем перед квадратным корнем.

− 10 √ 14 = (−1) · 10 √ 14 =
= (−1) · √ 10 2 · 14 =
= (−1) · √ 100 · 14 =
= (−1) · √ 1400 = …

Обычно умножение на « (−1) » заменяют знаком минуса впереди, так как смысл от этого не меняется.

− 10 √ 14 = (−1) · 10 √ 14 =
= (−1) · √ 10 2 · 14 =
= (−1) · √ 100 · 14 =
= (−1) · √ 1400 =

Кратко решение примера записывают следующим образом:

−10 √ 14 = − √ 10 2 · 14 =
= − √ 100 · 14 = − √ 1400

№ 528 (8) Мерзляк 8 класс

Внесите множитель под знак корня:

При внесении отрицательных дробей под знак корня, знак минуса также остается перед квадратным корнем.

−

√ 18p = (−1) ·

√ 18p =
= (−1) ·

( 1 3 ) 2 · 18p

=
= (−1) ·

1 2 3 2 · 18p

=

= (−1) ·

1 9 · 18p

=
= (−1) ·

1 · 18 2 · p 9 1

=
= (−1) · √ 2p = − √ 2p

Внесение буквы под знак корня

При внесении буквы под знак квадратного корня эта буква возводится во вторую степень.

Если буква уже находится во второй степени, то ее степень умножается на « 2 » по правилу возведения степени в степень.

= √ b 2 · 2 · √ 7 = √ b 4 · √ 7 =

= √ x 3 · 2 · √ y = √ x 6 · √ y =

№ 351 (3) Колягин (Алимов) 8 класс

Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа):

a ·

1 a

;

Запишем букву « a » в виде ее квадрата под знаком квадратного корня « √ a 2 ».

a ·

1 a

= √ a 2 ·

1 a

= …

По свойству произведения квадратных корней запишем их умножение под одним знаком корня.

a ·

1 a

= √ a 2 ·

1 a

=

a 2 · 1 a

=
=

a 2 · 1 a

=

a 2 a

= √ a

№ 351 (4) Колягин (Алимов) 8 класс

Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа):

√ 3x 5 ;
Возведем в квадрат всю дробь «

» и занесем ее под знак квадратного корня.

√ 3x 5 =

( 1 x 2 ) 2 · 3x 5

= …

√ 3x 5 =

( 1 x 2 ) 2 · 3x 5

=
=

1 2 (x 2 ) 2 · 3x 5

=

1 x 2 · 2 · 3x 5

=

=

1 x 4 · 3x 5

=

1 · 3x 5 x 4

=
=

3x 5 x 4

= …

√ 3x 5 =

( 1 x 2 ) 2 · 3x 5

=
=

1 2 (x 2 ) 2 · 3x 5

=

1 x 2 · 2 · 3x 5

=

=

1 x 4 · 3x 5

=

1 · 3x 5 x 4

=

= √ 3x 5 − 4 = √ 3x 1 = √ 3x

Внесение под корень буквы с минусом

При внесении под знак квадратного корня буквы с минусом знак минуса всегда остается перед знаком корня.

Запомните правило: «При внесении отрицательной буквы под знак корня минус всегда « остается за бортом! ».

№ 15.20 (б) Мордкович 8 класс

Внесите множитель под знак корня (всюду в этом параграфе предполагается, что переменные принимают только положительные значения):

Вместо знака минуса « − » перед буквой « b » запишем умножение на « −1 ».

Теперь внесем букву « b » под знак корня, возведя ее в квадрат. Множитель « −1 » оставим перед знаком квадратного корня.

− b √ 10 = (−1) · b √ 10 =
= (−1) · √ b 2 · 10 = − √ 10b 2

№ 4.140 (8) Кузнецова 8 класс

Внесите множитель под знак квадратного корня при p > 0 и k > 0 :

Чтобы не путаться при внесении буквы с числом под знак квадратного корня, удобно сначала внести числовой множитель, а затем букву.

9p 5 √ k = p 5 √ 9 2 · k = p 5 √ 81 · k = …

После внесения числа « 9 » под знак корня перейдем к внесению буквы « p 5 », возведя её во вторую степень.

9p 5 √ k = p 5 √ 9 2 · k =

= p 5 √ 81 · k = √ (p 5 ) 2 · 81 · k =

= √ p 5 · 2 · 81 · k = √ p 10 · 81 · k = …

Запишем окончательный ответ в стандартном виде одночлена: сначала число, затем буквы в алфавитном порядке.

9p 5 √ k = p 5 √ 9 2 · k =

= p 5 √ 81 · k = √ (p 5 ) 2 · 81 · k =

= √ p 5 · 2 · 81 · k = √ p 10 · 81 · k =

Как внести множитель в скобках под корень

№ 4.145 (2) Кузнецова 8 класс

Внесите множитель под знак квадратного корня.

Внесем множитель « (2 − √ 5 ) » под знак квадратного корня, возведя всё выражение во вторую степень.

(2 − √ 5 ) · √ 3 =

(2 − √ 5 ) 2 · 3

= …

Используем формулу сокращенного умножения «Квадрат разности»
для « (2 − √ 5 ) 2 ».

В старшей школе большинство заданий требует знания этих формул.

Не забудем, что под знаком корня уже был множитель « 3 ».

Источник