Как сделать игру пентамино
Презентация к уроку
Полимино
В этой статье мы будем рассматривать полимино – фигуры, составленные из одноклеточных квадратов так, что каждый квадрат примыкает хотя бы к одному соседнему, имеющему с ним общую сторону.
Задачи с полимино очень характерны для комбинаторной геометрии – раздела математики, занимающегося вопросами взаимного расположения и комбинирования геометрических фигур. Это очень красивая, но еще почти не разработанная ветвь математики, поскольку общих методов в ней, по-видимому, очень мало, а известные ныне методы настолько примитивны, что не поддаются усовершенствованию. Многие встречающиеся в практике важные инженерные задачи – в первую очередь те, которые связаны в том или ином смысле с оптимальным расположением фигур заданной формы, – по существу относятся к комбинаторной геометрии.
В последующих комбинаторных задачах предполагается, что полимино можно вращать (то есть поворачивать на 90, 180 или 270) и зеркально отражать (переворачивать), не меняя формы самих фигур.
Домино
Рис. 1
Домино состоит из двух квадратов и может иметь лишь одну форму – форму прямоугольника размером 1×2 (см. рис. 1). Первая связанная с домино задача, вероятно, многим знакома: даны шахматная доска, из которой вырезана пара противоположных угловых клеток, и коробка домино, каждое из которых покрывает ровно две клетки шахматной доски (см. рис. 2). Возможно ли целиком покрыть доску с помощью 31 кости домино (без свободных клеток и наложений)? Ответ на этот вопрос гласит: «НЕТ» и имеет замечательное доказательство. Шахматная доска содержит 64 чередующиеся клетки белой и черной раскраски (имеется в виду обычная шахматная раскраска доски). Каждая положенная на такую доску и покрывающая две соседние клетки кость домино покроет одно белое и одно черное поле, а n костей домино – n белых и n черных полей, т.е. поровну и тех и других. Но изображенная на рисунке шахматная доска содержит больше черных клеток, чем белых, и потому ее нельзя покрыть костями домино. Этот результат есть типичная теорема комбинаторной геометрии.
Рис. 2
Тримино
Рис. 3
Тримино (или триомино) — полимино третьего порядка, то есть многоугольник, полученный путём объединения трёх равных квадратов, соединённых сторонами. Если повороты и зеркальные отражения не считать различными формами, то существует только две «свободных» формы тримино (см. рис.3): прямое (I-образное) и угловое (L-образное).
Тетрамино
Рис. 4
С тетрамино связано множество задач на составление из них разных фигур. Доказано, что сложить какой-либо прямоугольник из полного набора тетрамино невозможно. Доказательство использует раскраску в шахматном порядке. Все тетрамино, кроме Т-образного, содержат 2 чёрные и 2 белые клетки, а Т-образное тетрамино — 3 клетки одного цвета и 1 клетку другого. Поэтому любая фигура из полного набора тетрамино (см. рис.4) будет содержать клеток одного цвета на две больше, чем другого. Но любой прямоугольник, с чётным количеством клеток, содержит равное число чёрных и белых клеток.
Пентамино
Рис. 5
Полимино, покрывающее пять клеток шахматной доски, называются пентамино. Существует 12 видов пентамино, которые можно обозначить прописными латинскими буквами, как указано на рисунке (см. рис. 5). В качестве приема, позволяющего легко запомнить эти наименования, укажем, что соответствующие буквы составляют конец латинского алфавита (TUVWXYZ) и входят в имя FiLiPiNo. Поскольку всего имеется 12 разных пентамино и каждая из этих фигур покрывает пять клеток, то вместе они покрывают 60 клеток.
Самая распространённая задача о пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20 (см. рис. 6).
Рис. 6
Для случая 6×10 эту задачу впервые решил в 1965 году Джон Флетчер. Существует ровно 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник 6×10, не считая поворотов и отражений целого прямоугольника, но считая повороты и отражения его частей (иногда внутри прямоугольника образуется симметричная комбинация фигур, поворачивая которую можно получить дополнительные решения).
Для прямоугольника 5×12 существует 1010 решений, 4×15 — 368 решений, 3×20 — всего 2 решения (отличающихся вышеописанным поворотом). В частности, существует 16 способов сложить два прямоугольника 5×6, из которых можно составить как прямоугольник 6×10, так и 5×12.
Рис. 7
Комментарии к презентации «Пентамино»
В этой работе я предлагаю несколько заданий с использованием фигур пентамино, которые можно использовать и для самых первых занятий с этой головоломкой, и для более подготовленных ребят. Они подойдут и для начальной школы, и для учащихся 5-7 классов (в зависимости от уровня обучающихся).
Для работы нам потребуется комплект, состоящий из двенадцати деталей пентамино. Его очень легко сделать самим на уроке или дома. На листе в клетку нужно нарисовать фигуры так, чтобы каждая состояла из пяти квадратов со стороной 1см. Затем следует приклеить лист в клетку на картон и вырезать по контуру получившиеся фигурки. При желании их можно раскрасить цветными карандашами или фломастерами. Пентамино готово.
Начинается презентация с самых простых заданий. Нужно из всех двенадцати фигурок пентамино отложить только те, из которых собирается данная картинка. Фигурки в презентации появляются по щелчку по одной, чтобы было удобно их находить.
На следующем слайде представлена картинка, которую нужно собрать. А на третьем слайде предложен вариант ответа. Таких задач в презентации четыре, но их количество всегда можно увеличить по мере необходимости.
Начиная с пятой задачи, учащиеся сами должны выбрать фигурки, которые будут использованы для данной картинки. В задаче №5 для «собачки» потребуются три фигурки пентамино.
В задаче №6 ребята должны не только собрать данные картинки, но и попытаться объяснить, почему может быть представлено только единственное решение этих задач.
В задачах №7 и №8 решений может быть несколько, и можно устроить соревнования «кто первый найдет все возможные решения этих задач».
Начиная с задачи №9, решений становится гораздо больше. Найти все решения на уроке не получится. Эти задачи можно предложить как вариант домашнего задания или предложить найти решения, разбив класс на группы.
В задачах №13 и №14 при решении используются все двенадцать фигур пентамино. Это уже достаточно сложные задания. С ними могут справиться не все учащиеся 5-6 классов. Поэтому те ребята, которые нашли решения этих задач, должны быть поощрены.
Очень интересный результат можно получить, предложив ребятам самим придумать различные картинки, составленные из фигур пентамино. Если это начальные классы, то нужно оговорить, что можно использовать не все фигуры сразу. В более старших классах учащиеся могут использовать весь комплект. Здесь следует напомнить, что каждая фигурка встречается ровно однажды и нельзя использовать какие-то детали более одного раза.
И вообще, очень трудно охватить такой огромный материал в одной презентации. Я предложила только малую толику того, что может быть придумано из пентамино. Творите, и результат превзойдет все ваши самые смелые ожидания. Ваши дети очень талантливы, и нужно только направить их мысль в нужную сторону. А там…
Игра «Пентамино»
учебно-методический материал (подготовительная группа)
Игра «Пентамино» предназначен для детей старше 3-х лет, но будет любопытна и взрослым. Это множество головоломок с решениями, которые могут быть как очень простыми, так и достаточно сложными. Это головоломка для одного человека или стратегическая игра с короткими раундами для нескольких игроков. Необычная игра, которая нравится игрокам всех возрастов и с самой разной степенью мастерства.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Автор: воспитатель МБДОУ ДС КВ №5 Хохлова Татьяна Александровна
Цель: развить логическое мышление ребенка.
Развитие наглядно-действенного мышления.
Развитие конструктивно-логического мышления.
Развитие пространственного мышления.
Развитие стратегического мышления.
Развитие элементарных математических представлений.
Развитие мелкой моторики.
Учить детей действовать в условиях соревнования.
Игра «Пентамино» предназначен для детей старше 3-х лет, но будет любопытна и взрослым. Э то множество головоломок с решениями, которые могут быть как очень простыми, так и достаточно сложными. Это головоломка для одного человека или стратегическая игра с короткими раундами для нескольких игроков. Необычная игра, которая нравится игрокам всех возрастов и с самой разной степенью мастерства.
Вариативность каждого задания позволяет в ходе занятий постепенно усложнять игру.
Игра может быть рекомендована для работы воспитателей групп дошкольного возраста, педагогов дополнительного образования, родителей. Игра может быть использована как в ходе организованной образовательной деятельности по познавательному развитию и конструированию, так и во время самостоятельной деятельности детей.
Наличие карточек с схематическим изображением заданий и доступные правила игры позволяют детям организовывать игру самостоятельно, без участия взрослого, что является неотъемлемой частью процесса развития детской инициативы в образовательном процессе.
Усложнение. Запрет на перевороты, а пустые клетки на конкретных местах (например по углам).
Игра для 2 игроков.
Игра «Пентамино» может использоваться также как настольная игра для двух игроков. Для игры необходима шахматное поле 8×8 и набор фигур пентамино, клетки которых имеют одинаковый размер с клетками доски. В начале игры поле пустое. Игроки поочерёдно выставляют на доску по одной фигуре, закрывая 5 свободных клеток поля. Все выставленные фигуры остаются на месте до конца партии (не снимаются с доски и не передвигаются). Проигравшим считается игрок, который первым не сможет сделать хода (либо из-за того, что ни одна из оставшихся фигур не умещается на свободных участках доски, либо потому, что все 12 фигур уже выставлены на доску).
Варианты настольной игры
Игра с заранее выбранными фигурами
В этом варианте игры игроки сначала по очереди выбирают по одной фигуре, пока все фигуры не будут распределены между ними. Далее игра проходит по правилам игры «Пентамино», с той разницей, что каждому из игроков разрешается ходить только теми фигурами, которые он выбрал. Взявший последнюю фигуру делает первый ход.
Стратегия этого варианта игры, предложенная Голомбом, существенно отличается от стратегии обычного пентамино. Вместо того, чтобы разбить доску на равновеликие участки, игрок стремится создать на доске участки, которые можно заполнить лишь его фигурами, но не фигурами соперника. (Голомб называет такие участки «убежищами».)
Игра для четырёх игроков. Четыре игрока, сидящие по четырём сторонам доски, играют двое на двое (игроки, сидящие друг напротив друга, образуют команду). Проигравшей считается команда, игрок которой первым не сможет сделать хода. В эту игру можно играть по любому из трёх вышеописанных вариантов — обычному, с заранее выбранными фигурами или «карточному».
Для малышей предлагают карточки с изображениями животных которые нужно сложить с помощью фигурок. На начальном этапе освоения игры ребенок выполняет задание путем наложения фигур пентамино на готовую карточку. В процессе усложнения игры ребенок выкладывает заданное изображение при помощи фигурок пентамино на пустом игровом поле.
Исследовательская работа по математике «В мире пентамино»
Для дошкольников и учеников 1-11 классов
Рекордно низкий оргвзнос 25 Р.
муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
Перевозского муниципального района
«Средняя школа №2 г. Перевоза»
И
сследовательская работа
Выполнила ученица 6 «А» класса
Руководитель учитель математики
3. Задачи на составление прямоугольника, утроение фигур.………….6-7
4. Правила игры, как сделать «Пентамино »……………………………8
5. Решение популярных головоломок …. 9
5.Родственники «Пентамино» ….………………………………………10
У меня много интересов. В свободное время я люблю поиграть в интересные игры, например шашки или домино. Так же люблю читать интересные книги. Однажды учитель математики завела разговор о разделении математики на два предмета, один из которых геометрия. Этот предмет мы будем изучать в 7 классе, для успешной учебы необходимо развивать свое логическое и геометрическое воображение, а для этого существует много разнообразных способов, один из которых всемирно известная игра «Пентамино». Она предложила с играть, тем самым заинтересовав нас всех. Смысл этой игры-головоломки состоит в следующем: необходимо составить разнообразные фигурки из 12 основных фигур, каждая из которых составляется из пяти («пента» в переводе с греческого означает «пять») равных квадратов. Основная фигура «Пентамино» обозначается латинской буквой, похожей на эту фигурку.
Мне очень понравилась эта игра. Приходилось прикладывать немало усилий, чтобы собрать даже очень простую головоломку. Фигурки для «Пентамино» мы сделали сами из цветного картона. Все хотели составить фигурку как можно быстрее и сложнее. Учитель предлагал нам на выбор фигурки, которые были найдены в интернете, но все старались придумать что – то своё. Мы очень увлеклись этой игрой, и даже играли в неё на перемене!
Итак, цель моей исследовательской работы: изучить логическую игру «Пентамино».
1. Собрать и изучить материал по «Пентамино»;
Решить задачи, предложенные любителями игры;
Изготовить фигурки «Пентамино» собственноручно.
Предмет исследования: математика.
Объект исследования: логическая игра «Пентамино».
Основная часть. Мир «Пентамино»
1. Что такое «Пентамино»
Виды и количество фигур
В пентамино существует 12 различных фигур, обозначаемых латинскими буквами, форму которых они напоминают. 
Принято считать, что зеркальное отражение фигур не создают каких-либо новых фигур. Но есл и посчитать и зеркально отражённые фигуры, то их число увеличится до 18. Такое различие имеет значение, например, в компьютерной игре, вариации « Тетриса»- «Пентиксе».
Можно рассмотреть вращение фигур на 90°, при этом возникают следующие случаи:
L, N, P, F и Y могут быть ориентированы 8 способами каждая: 4 поворотами и ещё 4 зеркальными отображениями.
Z может быть ориентирована 4 способами: 2-поворотами, 2-зеркальными отображениями.
T, V, U и W могут быть ориентированы поворотами 4 способами каждая.
I может быть ориентирована поворотами 2 способами.
X может быть ориентирована единственным способом. Отсюда число фиксированных пентамино равно 5 × 8 + (1 + 4) × 4 + 2 + 1 = 63
Для прямоугольника 5×12 существует 1010 решений, 4×15 — 368 решений,
3×20 — всего 2 решения.
Задачу об утроении фигур «Пентамино» предложил известный профессор Калифорнийского университета Р.М. Робинсон. Выбрав одну из 12 фигур, необходимо построить из каких-либо 9 оставшихся «Пентамино» фигуру, подобную выбранной, но в 3 раза бо́льшей длины и ширины. Решение существует для любого из 12 «Пентамино».
Правила игры «Пентамино»
Нужно расположить все фигурки оставив пустыми четыре клетки. В простом случае фигурки можно переворачивать (отражать зеркально), а пустые клетки оставлять где угодно. В усложненном варианте запрещается зеркальные перевороты фигур, а пустые клетки должны быть на конкретных местах (например, по углам). Если сделать несколько комплектов, то можно собирать на время.
Как сделать Пентамино
Можно изготовить пентамино из кубиков, но это довольно трудно. Нужно будет обклеить 60 кубиков. Проще всего сделать элементы их плотного картона.
Вырезаем 12 таких фигур (конечно же, не одинаковых, а тех фигур, что указаны в образце).
Вот и готовы наши фигурки! Смело можно приступать к работе!
Решение популярных головоломок «Пентамино»
Пентамино из Лего
Схема сборки достаточно простая: два ряда кирпичиков уложенные друг на друга со смещением.
Родственники пентамино
Есть множество похожих игр на популярную головоломку. Самая популярная в наше время это тетрис, во времена наших родителей домино и тримино кроме этого есть еще и Танграм, Монгольская игра головоломка, Тетрамино и т.д.
Мне кажется, что в ходе своей исследовательской работы я собрала и изучила довольно интересный материал:
— Игру «Пентамино» придумал в 50-х годах американский математик С. Голомб, который заставил весь мир играть в эту увлекательную игру.
— Самая популярная задача в игре «Пентамино» — сложить из всех фигур, прямоугольник.
— Не только Тетрис – родственник игры «Пентамино», а ещё и Домино;
Тримино; Тетрамино и т.д.
Собранный мной материал можно использовать на различных занятиях по математике. Думаю, что моим одноклассникам будет интересно узнать об этой увлекательной и познавательной игре, которая служит для развития геометрического мышления.
Используемая литература и ресурсы интернета:
Г. А. Репина «Математическое моделирование на плоскости» Волгоград.2009г.
Гарден Мартин « Математические головоломки и развлечения» Москва 1999г.
муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
Перевозского муниципального района
«Средняя школа №2 г. Перевоза»
Выполнила ученица 6 «А» класса
Руководитель учитель математики
1. Что такое «Пентамино» …4
2. Виды и количество фигур … 5
3. Задачи на составление прямоугольника, утроение фигур. 6-7
4. Правила игры, как сделать «Пентамино » …8
5.Родственники «Пентамино» …10
Используемая литература 12
У меня много интересов. В свободное время я люблю поиграть в интересные игры, например шашки или домино. Так же люблю читать интересные книги. Однажды учитель математики завела разговор о разделении математики на два предмета, один из которых геометрия. Этот предмет мы будем изучать в 7 классе, для успешной учебы необходимо развивать свое логическое и геометрическое воображение, а для этого существует много разнообразных способов, один из которых всемирно известная игра «Пентамино». Она предложила с играть, тем самым заинтересовав нас всех. Смысл этой игры-головоломки состоит в следующем: необходимо составить разнообразные фигурки из 12 основных фигур, каждая из которых составляется из пяти («пента» в переводе с греческого означает «пять») равных квадратов. Основная фигура «Пентамино» обозначается латинской буквой, похожей на эту фигурку.
Мне очень понравилась эта игра. Приходилось прикладывать немало усилий, чтобы собрать даже очень простую головоломку. Фигурки для «Пентамино» мы сделали сами из цветного картона. Все хотели составить фигурку как можно быстрее и сложнее. Учитель предлагал нам на выбор фигурки, которые были найдены в интернете, но все старались придумать что – то своё. Мы очень увлеклись этой игрой, и даже играли в неё на перемене!
Итак, цель моей исследовательской работы: изучить логическую игру «Пентамино».
1. Собрать и изучить материал по «Пентамино»;
2. Решить задачи, предложенные любителями игры;
3. Изготовить фигурки «Пентамино» собственноручно.
Предмет исследования: математика.
Объект исследования: логическая игра «Пентамино».
Основная часть. Мир «Пентамино»
1. Что такое «Пентамино»