Как сделать задачу на проценты

Три типа простейших задач на проценты

Разделы: Математика

Цели урока:

Оборудование: Листы на партах с общими рекомендациями по решению задач, листы с заданиями для домашней работы, таблицы к уроку.

Ход урока

I. Организационный этап.

Сообщение целей урока и плана его проведения.

II. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению знаний.

Выступление ученика. Что такое «процент»?

Процент – одно из математических понятий, которое часто встречается в повседневной жизни. Это слово часто произносят по радио и в телевизионных передачах. Часто можно услышать, что наше правительство приняло решение увеличить размер пенсии на 7%, родители взяли образовательный кредит в банке 60000 р. на 1 год под 12% годовых, новогодние скидки составляют 30 % и так далее. Что такое «процент»?

Слово «процент» происходит от латинских слов «pro centum», что буквально означает «со ста». Проценты дают возможность легко сравнивать между собой части целого, упрощают расчёты и поэтому очень распространены.

Широко начали использовать проценты в древнем Риме, но идея процентов возникла намного раньше – вавилонские ростовщики уже умели находить проценты (но они считали не «со ста», а «с шестидесяти», так как в Вавилоне пользовались шестидесятеричными дробями.)
Знак % произошёл благодаря опечатке. В рукописях «pro centum» часто заменяли словом «cento» (сто) и писали его сокращённо «cto». В 1685 году в Париже была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо «cto» набрал %.

После этой ошибки многие математики стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание. Иногда применяют и более мелкие доли целого – тысячные, то есть десятые части процента. Их называют промилле (от латинского «с тысячи») и обозначают %.

Так как 1% равен сотой части величины, то вся величина равна
100%. Сотую часть центнера называют килограммом, сотую часть метра – сантиметром, сотую часть гектара – аром или соткой.

Значит 1 килограмм – 1% центнера, 1 сантиметр – 1% метра, 1 ар – 1% гектара».

1% = = 0,01

III. Этап формирования новых умений.

В практической жизни полезно знать, связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями.

Проценты	5%	10%	12,5%	20%	25%	40%	50%	60%	75%	80%
Обыкновенные дроби
Десятичные дроби	0,05	0,01	0,125	0,2	0,25	0,4	0,5	0,6	0,75	0,8

Любое число процентов можно выразить десятичной дробью или натуральным числом.

Чтобы выразить проценты десятичной дробью или натуральным числом, нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100.

Чтобы выразить число в процентах, надо его умножить на 100.

В простейших задачах на проценты некоторая величина а принимается за 100% (целое), а ее часть b (правильная или неправильная) выражается числом p%

а – 100%
b – p%

В зависимости от того, что неизвестно а, b или p выделяются три типа задач на проценты.

1. Нахождение процента от числа.

Чтобы найти р% от числа а, надо а умножить на

b = ·а

Итак, чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь.

2. Нахождение числа по его проценту.

Чтобы найти число по его части b, выраженной p%, надо b разделить на :

а= b :

Итак, чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, разделить на дробь.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.

Чтобы найти, сколько процентов число b составляет от а, надо сначала узнать, какую часть b составляет от а, а затем эту часть умножить на 100%.

=

Таким образом, чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100%.

Рассмотрим следующие задачи:

Задача 1. [2]

Стоимость билета на спектакль – 700 рублей, детям предоставляется скидка 25 %. Сколько рублей будут стоить билеты для семьи, в которой трое взрослых и четверо детей?

Решение.

Эта задача относится к I типу.

700 25% = 7000, 25 = 175 (рублей);

700 – 175 = 525 (рублей) – стоимость детского билета.

Далее, 3 700 + 4 525 = 4200 (рублей). Итак, для всей семьи билеты будут стоить 4 200 рублей.

Ответ. 4 200 рублей.

Задача 2.

Володя прочитал 234 страницы, что составляет 36% всей книги. Сколько страниц в этой книге?

Решение.

234: 0,36 = 23400:36 = 650 (страниц).

Ответ. В этой книге 650 страниц.

Задача 3. [3]

Для определения всхожести семян посеяли горох. Из 250 посеянных горошин взошло 170. Какой процент горошин дал всходы (процент всхожести)?

Решение.

Задача относится к III типу.

170 : 250 100 % =85 %

Ответ. Процент всхожести равен 85%.

Рассмотрим другие способы решения задач.

Задача 4. [3]

Если из 225 кг руды получается 34,2 кг меди, то каково процентное содержание меди в руде?

Решение.

Обозначив буквой х процентное содержание меди, запишем кратко условие задачи:

Если 225 кг руды – 100%, то 34,2 кг – х%

Запишем пропорцию 225 :34,2 = 100 : х.

Откуда х= 34,2100: 225, х= 15, 2%.

Ответ. Процентное содержание меди в руде 15,2%.

Задача 5. [1]

Цену товара снизили на 205, затем новую цену снизили еще на 15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение ее на 10%. По сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?

Решение. Пусть х рублей- первоначальная цена товара, что соответствует 100%. Тогда после первого снижения цена товара будет х- 0,2х = 0,8х (руб.).

После второго снижения 0,8х- 0,150,8х = 0,68х (руб.),

а после третьего снижения 0,68х – 0,68х 0,1 = 0,612х (руб.). Всего цена товара снизилась на х- 0,612х = 0,388х (руб.).

Итак, х – 100%, 0,388х – y, откуда имеем y = (0,388 100%) : х=38,8%. Таким образом, первоначальную цену товара снизили всего на 38,8%.

IV. Этап подведения итогов и информирование учащихся о домашнем задании.

Учитель подводит итоги урока и комментирует задачи домашнего выполнения.

V. Рефлексия.

Литература:

Источник

Задачи на проценты: 3 способа решения с примерами

Как решать задачи на проценты? Есть 3 способа, выбирай тот, который для тебя проще и понятнее.

Умение быстро и правильно решать задачи на проценты важно, как для успешной сдачи ЕГЭ, так и для повседневной жизни. И если в ЕГЭ вы можете встретить такую задачу в задании 11, то в повседневной жизни такие задачи повсюду.

Зарплату повысили на 15%, а потом оштрафовали на 10%, после этого из зарплаты удержали налог 13% — сколько же мы получим в конце месяца? Коммунальные услуги повысили на 15%, сколько они теперь будут стоить? При возврате ж/д билета вернут только 20% стоимости, какую сумму мы получим? Все это задачи на проценты, которые нам приходится решать каждый день.

Поэтому умение быстро и правильно решать задачи на проценты – это полезно.

Задачи на проценты: вся суть

Задачи на проценты, как правило, описывают жизненную ситуацию. В ней присутствует какая-то величина, которая увеличивается или уменьшается на сколько-то процентов. Таким образом, в задаче на проценты упоминается такие данные, как первоначальная величина, конечная величина и процент, на который эта величина изменилась. Чаще всего в задаче требуется найти либо первоначальную величину, либо конечную величину, реже – процент, на который эта величина изменилась.

Решение задач на проценты с помощью формулы простого процента

Формула, которой мы пользуемся при решении задач на проценты, называется формула простого процента:

Х_{конечное} – конечная величина

Х_{первоначальное} – первоначальная величина

k – процент, на который первоначальная величина изменилась

Из этой формулы всегда можно найти первоначальную величину или процент, на который происходит изменение.

Знак стоящий перед k зависит от того, увеличивается первоначальная величина или уменьшается. Так, если величина увеличивается на сколько-то процентов, то ставим знак плюс. Если уменьшается – минус.

Для наглядности приведем несколько простых примеров.

Задача 1

В городе проживало 30 000 человек. В результате строительства нового микрорайона количество жителей увеличилось на 6%. Сколько человек стало проживать в городе?

Решение: Очевидно, что в этой задаче нам известна первоначальная величина – 30 000 человек и процент, на который она увеличилась +6% Нужно найти конечную величину.

30 000 * ((100 + 6)/100) = х

Ответ: 31 800 человек

Задача 2

Сколько килограмм яблок нужно собрать, чтобы получить из них 5 килограмм сушеных яблок, если известно, что в свежих яблоках содержится 90% воды?

5 = х * ((100 – 90) / 100)

Задача 3

Холодильник стоимостью 20 000 рублей был продан спустя месяц за 22 000 рублей. На сколько процентов увеличилась стоимость холодильника?

Решение: В данной задаче нам известна первоначальная (20 000 рублей) и конечная величина (22 000 рублей), а найти нужно процент, на который данная величина изменилась.

22 000 = 20 000 * ((100 + х) / 100)

22 000 / 20 000 = 1 + х/100

Решение задач на проценты: метод пропорции

Еще один способ решения задач на проценты – это метод пропорции. Это наиболее простой способ решения таких задач.

Напомним, что пропорция – это равенство двух отношений:

Для нас важно основное свойство пропорции, которое заключается в том, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов. Проще запомнить, что мы можем перемножить члены пропорции крест-накрест:

При решении задач на проценты с помощью метода пропорции необходимо руководствоваться следующим правилом:

Далее записываем пропорцию:

Давайте решим приведенные выше примеры задач на проценты с помощью метода пропорции.

Задача 4

В городе проживало 30 000 человек. В результате строительства нового микрорайона количество жителей увеличилось на 6%. Сколько человек стало проживать в городе?

Решение: Итак, в городе проживало 30 000 человек и это всё его население, т.е. 100%. Так и запишем:

Далее население выросло на 6%, т.е. всё его население стало составлять 100% + 6% = 106% и нам неизвестно, сколько это человек, т.е. Х человек. Запишем:

Таким образом, получаем:

Составим пропорцию: Правую дробь пропорции можно сократить на 2, получим: Теперь воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим ее члены крест-накрест:

Далее обе части полученного уравнения мы можем разделить на 50, получим:

Ответ: 31 800 человек

Задача 5

Сколько килограмм яблок нужно собрать, чтобы получить из них 5 килограмм сушеных яблок, если известно, что в свежих яблоках содержится 90% воды?

Решение: Нам неизвестно первоначальное количество всех яблок (всё количество), т.е. это Х, которое составляет 100%. Количество сушеных яблок (часть от первоначального количества яблок) составляет 5 кг. Причем известно, что количество сушеных яблок на 90% меньше от первоначального количества яблок (т.к. 90% — это вода, которая из них испарилась). Следовательно, количество сушеных яблок составит 100% — 90% = 10%. Запишем наши рассуждения:

Запишем наши рассуждения: Сократим правую дробь на 10, получим:Воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим ее члены крест-накрест:

Задача 6

Холодильник стоимостью 20 000 рублей был продан спустя месяц за 22 000 рублей. На сколько процентов увеличилась стоимость холодильника?

Решение: Нам известно, что исходная цена – 20 000 рублей, следовательно, 20 000 рублей – это 100%. Тогда конечная цена 22 000 рублей – это неизвестное количество процентов, т.е. Х%. Так и запишем:

Теперь запишем пропорцию: Сократим левую дробь на 2 000, получим: Воспользуемся основным свойством пропорции, то есть перемножим ее члены крест-накрест:

В результате решения мы получили результат 110%, но он не является ответом! Ведь нам нужно найти, на сколько процентов изменилась стоимость холодильника. Чтобы это узнать, нужно из полученного числа процентов отнять 100%:

Решение задач на проценты методом коэффициентов

Можно назвать еще один метод решения задач на проценты, который является следствием из формулы простого процента. Так, формулу простого процента можно переписать следующим образом:

Таким образом, мы получили формулу для решения задач на проценты методом коэффициентов. Полученная формула удобна тем, что при достаточной практике простые задачи на проценты можно решать в уме, даже не задумываясь.

Например, яблоки стоили 150 рублей, затем они подорожали на 20%. Найдите новую стоимость яблок.

Применим полученную формулу и получим:

150 * 1,2 = 180 рублей

То есть мы интуитивно 20% превращаем в 0,2 прибавляем единицу, так как происходит увеличение на данное количество процентов, и умножаем на первоначальную стоимость.

Или другой пример. Зарплата работника составляла 25 000 рублей в месяц, в результате применения штрафа за опоздания зарплата сократилась на 10%. Найти сумму зарплаты, которую получит оштрафованный работник.

25 000 * 0,9 = 22 500 рублей

Опять же мы сразу понимаем, что 10% — это 0,1. Т.к. происходит уменьшение первоначальной величины на это количество процентов, то мы вычитаем из единицы этот процент и получаем 0,9. Затем умножаем полученное значение на первоначальную величину. Готово!

Давайте решим этим методом задачу про зарплату и налоги.

Задача 7

В России налог на доходы физических лиц составляет 13%. Зарплата Марии Ивановны после удержания налога на доходы составила 60 900 рублей. Найти сумму зарплаты Марии Ивановны до удержания налога.

Решение: Итак, 13% — это 0,13. Первоначальная зарплата уменьшилась на этот процент, значит, вычитаем из единицы и получаем 1 – 0,13 = 0,87. Подставляем в формулу:

Ответ: 70 000 рублей

Задача 8

В школе 1000 учеников, из них 20% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 30% изучают французский язык. Сколько учеников в школе изучают французский язык, если в начальной школе французский язык не изучают?

Решение: Для начала из общего количества учеников исключим тех, кто французский язык точно не изучает, т.е. учеников начальной школы. Ученики начальной школы – это 20%, т.е. 0,2, мы уменьшаем на этот процент, следовательно, вычитаем из единицы и получаем 1 – 0,2 = 0,8.

Из 800 полученных учеников французский язык изучают только 30%.

Обратите внимание, что здесь идет речь о проценте от числа. Т.е. мы не уменьшаем на 30% (в этом случае мы вычитаем значение процента в долях из единицы) и не увеличиваем на 30% (в этом случае мы прибавляем к значению процента в долях к единице), а берем 30% от заданного числа (в этом случае мы умножаем заданное число на значение процента в долях). Всегда внимательно читайте условия задачи!

В нашем случае нам нужно найти 30% от 800:

Это и есть ответ. 240 учеников изучают французский язык в школе.

Ответ: 240 учеников.

Задача 9

Разберем еще одну задачу на проценты, которая часто встречается на ЕГЭ и в которой легко можно допустить ошибку.

Задача: Зарплата рабочего составляла 30 000 рублей, затем зарплату повысили на 30%, а потом понизили на 30%. Какую зарплату стал получать рабочий?

Решение: быстро прочитав условие задачи, сходу хочется дать ответ – зарплата останется прежней, ее размер не изменился. Но это не так! Давайте разбираться.

Будем решать по формуле простого процента.

Первое событие – зарплату повысили на 30%. Следовательно, первоначальную сумму мы увеличиваем на 30%:Второе событие – зарплату понизили на 30%. Следовательно, нашу увеличенную зарплату мы теперь уменьшаем на 30%:Таким образом, рабочий теперь будет получать зарплату 27 300 рублей.

Данную задачу мы могли бы решить в одно действие, применяя формулу для вычисления сложного процента. Напомним ее:

S – это конечная сумма;

P – это первоначальная сумма;

n – количество периодов.

Т.к. 30% — это 0,3, то, применяя формулу для вычисления сложного процента к нашей задаче, мы получим:

30 000 * (1 + 0,3) 1 (1 – 0,3) 1 = 27 300 рублей

Результат получился тот же.

Ответ: 27 300 рублей

В этой статье были разобраны достаточно простые примеры задач на проценты, чтобы максимально доступно продемонстрировать методы решения задач на проценты. В профильном ЕГЭ с процентами вы можете столкнуться в задаче с экономическим содержанием по вкладам и кредитам. Такие задачи гораздо сложнее и подробное их решение вы можете посмотреть на нашем сайте.

Итак, надеюсь, что данная статья помогла вам понять, как решать задачи на проценты. Мы увидели, что задачи на проценты можно решать тремя способами – с помощью формулы простого процента, методом пропорции и методом коэффициентов. Выбирайте тот, который вам наиболее понятен, и которым вам решать такие задачи проще.

Источник