в течение дней каждый день на доску записывают натуральные числа

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

Источник

В течение дней каждый день на доску записывают натуральные числа

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Может ли n быть больше 6?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?

в) Известно, что n = 6. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?

а) Сумма натуральных чисел, записанных в первый день, равна 7. Следовательно, чисел, записанных в первый день, не более 7. Тогда в день n () записанных чисел не более 1. И это число заведомо больше 7 (т.к. сумма чисел с каждым днем увеличивается). Противоречие с условием (все записанные числа должны быть меньше 6).

б) Пусть в первый день на доску записали число 1 и шесть чисел 2, во второй день — шесть чисел 3, а в третий день — пять чисел 4. Тогда сумма чисел в первый день равна 13, во второй —18, а в третий — 20. Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, равно а среднее арифметическое всех записанных чисел равно

в) Заметим, что в шестой день на доску было записано хотя бы одно число. Предположим, что в шестой день на доску было записано не больше двух чисел. Значит, в первый день на доску было записано не менее 6 чисел, и их сумма была не меньше 6. Но это невозможно, поскольку в шестой день сумма записанных на доску чисел должна быть не меньше 11, а сумма двух чисел, каждое из которых меньше 6, не может быть больше 10.

Таким образом, в шестой день на доску было записано хотя бы три числа. Следовательно, в пятый день было записано не менее четырёх чисел, в четвёртый день — не менее пяти, в третий — не менее шести, во второй — не менее семи, а в первый — не менее восьми. Значит, суммарно чисел было не меньше 33.

Покажем, что могло быть записано 33 числа, удовлетворяющих условию задачи. Пусть в первый день были записаны числа 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; во второй — 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3; в третий — 1, 1, 1, 1, 3, 3; в четвёртый — 1, 1, 3, 3, 3; в пятый — 1, 1, 5, 5; в шестой — 4, 4, 5. Тогда суммы записанных за эти дни чисел соответственно равны 8, 9, 10, 11, 12 и 13, то есть числа удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: а) нет; б) да; в) 33.

Аналоги к заданию № 526345: 548498 526541 Все

Источник

В течение дней каждый день на доску записывают натуральные числа

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Может ли n быть больше 6?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?

в) Известно, что n = 6. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?

а) Сумма натуральных чисел, записанных в первый день, равна 7. Следовательно, чисел, записанных в первый день, не более 7. Тогда в день n () записанных чисел не более 1. И это число заведомо больше 7 (т.к. сумма чисел с каждым днем увеличивается). Противоречие с условием (все записанные числа должны быть меньше 6).

б) Пусть в первый день на доску записали число 1 и шесть чисел 2, во второй день — шесть чисел 3, а в третий день — пять чисел 4. Тогда сумма чисел в первый день равна 13, во второй —18, а в третий — 20. Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, равно а среднее арифметическое всех записанных чисел равно

в) Заметим, что в шестой день на доску было записано хотя бы одно число. Предположим, что в шестой день на доску было записано не больше двух чисел. Значит, в первый день на доску было записано не менее 6 чисел, и их сумма была не меньше 6. Но это невозможно, поскольку в шестой день сумма записанных на доску чисел должна быть не меньше 11, а сумма двух чисел, каждое из которых меньше 6, не может быть больше 10.

Таким образом, в шестой день на доску было записано хотя бы три числа. Следовательно, в пятый день было записано не менее четырёх чисел, в четвёртый день — не менее пяти, в третий — не менее шести, во второй — не менее семи, а в первый — не менее восьми. Значит, суммарно чисел было не меньше 33.

Покажем, что могло быть записано 33 числа, удовлетворяющих условию задачи. Пусть в первый день были записаны числа 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; во второй — 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3; в третий — 1, 1, 1, 1, 3, 3; в четвёртый — 1, 1, 3, 3, 3; в пятый — 1, 1, 5, 5; в шестой — 4, 4, 5. Тогда суммы записанных за эти дни чисел соответственно равны 8, 9, 10, 11, 12 и 13, то есть числа удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: а) нет; б) да; в) 33.

Аналоги к заданию № 526345: 548498 526541 Все

Источник

В течение дней каждый день на доску записывают натуральные числа

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли n быть больше 6?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

а) Да. Например в первый день выписано 20 единиц, а в каждый следующий день выписывают на две единицы меньше, зато добавляют тройку. Тогда количество чисел каждый день на 1 меньше, а сумма — на 1 больше, чем в предыдущий.

б) Да. Приведем пример:

в) Сумма принимает наибольшее при Если количество не менее двух, то число чисел в первый день меняется от 2 до 5. Сумма в первый день равна 5, тогда сумма в последний день превысит 5. Тогда количество чисел в последний день — от 2 до 4. Если количество чисел в последний день меняется от 2, то тогда количество чисел в первый день меняется от 3. Имеем по количеству чисел в день:

Вариант 1, 2 и 4 не подходят — они равнозначны. Имеют одну и ту же сумму — 15.

Сравним 3 вариант и 6.

Для третьего варианта: максимальная сумма в первый день это 5. А в третий день это 10.

Для шестого варианта:

Таким образом, сумма равна 32.

Таким образом, сумма равна 34.

Ответ: а) да, б) да, в) 34.

Рекомендуем сравнить это задание с заданиями 526541 и 526345 из основной волны ЕГЭ 2019 года.

Источник

В течение дней каждый день на доску записывают натуральные числа

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли n быть больше 5?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

а) Пусть в день с номером k записано к чисел 3 и 12 − 2k чисел 1. Тогда сумма чисел в этот день равна 12 + k. Таким образом, n может быть равным 6.

б) Пусть n = 4, в первый день на доску записали число 2 и двенадцать чисел 3, во второй день — двенадцать чисел 4, в третий день — шесть чисел 4 и пять чисел 5, а в четвёртый день — десять чисел 5. Тогда сумма чисел в первый день равна 38, во второй — 48, в третий — 49, а в четвёртый — 50. Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, равно а среднее арифметическое всех записанных чисел равно

в) Заметим, что в первый день на доску было записано не более 6 чисел. Значит, если n > 5, то в шестой день на доску было записано одно число. Но это невозможно, поскольку это число должно быть больше суммы чисел, записанных в первый день, равной 6. Таким образом,

Если n = 5, то в пятый день на доску было записано не более двух чисел, а их сумма не превосходит 10. Значит, суммы чисел, записанных в четвёртый, третий и второй дни, не превосходят 9, 8 и 7 соответственно, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 40.

Если n = 4, то в четвёртый день на доску было записано не более трёх чисел, а их сумма не превосходит 15. Значит, суммы чисел, записанных в третий и второй дни, не превосходят 14 и 13 соответственно, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 48.

Если n = 3, то в третий день на доску было записано не более четырёх чисел, а их сумма не превосходит 20. Значит, сумма чисел, записанных во второй день, не превосходит 19, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 45.

Если n = 2, то во второй день на доску было записано не более пяти чисел, а их сумма не превосходит 25. Значит, сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 31.

Если n = 1, то сумма всех записанных чисел равна 6. Таким образом, сумма всех записанных чисел не превосходит 48. Покажем, что сумма всех записанных чисел могла равняться 48. Пусть n = 4, и в первый день быта записаны числа 1, 1, 1, 1, 1, 1: во второй — 2, 2, 3, 3, 3: в третий — 3, 3, 4, 4; в четвёртый — 5, 5, 5. Тогда суммы записанных в эти дни чисел соответственно равны 6, 13, 14 и 15, то есть числа удовлетворяют условиям задачи, а их сумма равна 48.

Ответ: а) да, б) да, в) 48.

Аналоги к заданию № 526345: 548498 526541 Все

Источник

• ← в течение дней до дня голосования запрещается опубликование результатов опросов
• в течение дня будет все готово →