Чем больше аргумент тем меньше значение косинуса

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Навигация

Загрузки всякие

Связь

Содержание

Синус, косинус, тангенс острого угла

Тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника.

Основное тригонометрическое тождество

Если мы возьмем гипотенузу, равную 1, то это определение можно упростить до:

Тогда теорему Пифагора можно переформулировать так:

$$(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1$$

Или другая форма записи без скобок:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Формулы приведения для острого угла

Возрастание и убывание

Чем больше один из острых углов прямоугольного треугольника, тем меньше другой. Отсюда следует, с учетом ОТТ, для этих углов:

Мнемоническое правило

Правило для косинуса

Синусу не остается ничего другого, кроме «противолежать».

«Длинный» косинус в паре с «коротким» прилежащим катетом, «короткий» синус в паре с «длинным» противолежащим катетом.

Правило для ОТТ

В семье Синичкиных (Sin) праздник. К ним в отпуск приезжает дочка с мужем, семья Косичкиных (Cos). Вот двое Синичкиных радостно бегут навстречу Косичкиным. Они обнимаются (+). И образуют одну большую семью: 1.

Синус в строительстве

Возьмите 10-метровый столб и поднимите его с земли на 45 градусов. Верхушка столба будет находиться на высоте

А 8-метровый столб будет на высоте

Подобные манипуляции со столбами очень полезны в строительстве (пирамиды сами себя не рассчитают). К сожалению, спустя тысячи лет у нас твердо закрепилась мысль, что смысл синуса в возможности вычислить высоту треугольника по гипотенузе и углу. Для краткости мыслительного процесса думаем «синус=высота». Это нормально, главное не застревать на этом, а смотреть шире.

Расчеты в Excel

Пусть известно расстояние до дерева. Нужно узнать его высоту:

Источник

Чем больше аргумент тем меньше значение косинуса

ИЗМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Изменение функций sin φ и cos φ
Изменение функций tg φ и ctg φ

Изменение функций sin φ и cos φ

Используя тригонометрический круг, выясним, как с изменением аргумента φ изменяются функции sin φ и cos φ.

Изменение функции sin φ

Пусть угол φ непрерывно возрастает от 0° до 90°. Тогда ордината соответствующего вектора будет непрерывно возрастать от 0 до 1. Следовательно, при увеличении угла от 0° до 90° синус его возрастает от 0 до 1.

Если угол φ непрерывно возрастает от 90° до 180°, то ордината соответствующего вектора будет непрерывно уменьшаться от 1 до 0. Следовательно, при увеличении угла φ от 90° до 180° синус его уменьшается от 1 до 0.

Из отмеченных выше свойств следует особо подчеркнуть следующее Свойство острых углов: чем больше острый угол, тем больше его синус. Так, sin 55° > sin 54°; sin 13° 56′ > sin 13°54′ и т. д.

Это утверждение, верное для острых углов, не распространяется на произвольные углы. Например, угол в 180° больше угла в 0°. Однако sin 180° = sin 0° = 0.

Аналогично тому, как мы изучили функцию sin φ, может быть рассмотрена и функция cos φ.

Изменение функции cos φ

При увеличении угла от 0° до 90° косинус его уменьшается от 1 до 0; при увеличении угла от 90° до 180° косинус его уменьшается от 0 до —1; при увеличении угла от 180° до 270° косинус его увеличивается от —1 до 0; при увеличении угла от 270° до 360° косинус его увеличивается от 0 до 1.

Косинусы углов, оканчивающихся в 1-й или в 4-й четвертях, положительны; косинусы углов, оканчивающихся во 2-й или в 3-й четвертях, отрицательны.

Следует особо подчеркнуть следующее свойство косинусов острых углов: чем больше острый угол, тем меньше его косинус. Так, cos 55° cos 180° (0 > —1).

1. Определить знаки следующих выражений:

1) sin 153°; 4) sin (—402°); 7) cos (— 1230°);

2) sin 273°; 5) cos 73°; 8) cos 140°;

3) sin 301°; 6) sin 910°; 9) sin 1000° · cos 1000°.

2. Доказать неравенства:

1) sin 61° > sin 60°; 5) cos 79° cos 150° ;

3) sin 196° > sin 201°; 7) cos 190° 0; б) sin φ cos φ 0, sin 2φ 0?

6. В каких четвертях может оканчиваться угол а, если:

7. Расположить в порядке возрастания величины;

а) sin (—55°); sin 600°; sin 1295°;
б) cos 654°; cos (—67°); cos 295°.

8.Как изменяется sin 2φ при изменении угла φ:

а) от 0° до 45°; и) от 135° до 180°;

б) от 90° до 135° ; г) от 5760° до 5805°?

9. Как изменяется cos 3φ при изменении угла φ от 3660° до 3690°?

Изменение функций tg φ и ctg φ

Изменение функций tg φ

При φ = ±90° tg φ не определен. Но если угол φ, оставаясь в пределах от —90° до 90°, хоть немного отличается от ±90°, то выражение tg φ уже определено. Посмотрим, как же ведет себя функция tg φ, когда ее аргумент φ близок к ± 90°.

По мере того как угол φ приближается к 90°, оставаясь меньше 90°, ордината соответствующей точки на оси тангенсов неограниченно возрастает.

(читается: предел тангенса φ, когда φ стремится к —90°, оставаясь при этом больше — 90°, равен минус бесконечности).

Мы исследовали поведение функции tg φ вблизи конечных точек интервала (—90°, 90°). Исследовать tg φ внутри этого интервала весьма просто. Как уже указывалось, tg φ может принимать любые числовые значения.

Из рисунка легко понять, что, чем больше значение аргумента φ в интервале (—90°, 90°), тем больше будет ордината соответствующей точки на оси тангенсов. Следовательно, из двух произвольных углов этого интервала большему соответствует больший тангенс.

Принято говорить, что
при увеличении угла от —90° до + 90° тангенс его возрастает от — ∞ до+ ∞

Схематично поведение функций tg φ в интервале—90° — 90°.

Изменение функций ctg φ

Аналогично можно исследовать и функцию ctg φ.

Схематично поведение функции ctgφ представлено на рисунке.

1. Определить знаки следующих выражений:

2. Какое число больше:

3. В каких четвертях может оканчиваться угол φ, если:

4. В каких четвертях имеют одинаковые знаки:

а) sin φ и tg φ; в) cos φ и tg φ;

б) cos φ и ctg φ; г) tg φ и ctg φ?

5. Какие пары тригонометрических функций имеют одинаковые знаки во всех четвертях?

6. Данные выражения расположить в порядке возрастания:

а) tg (—55°); tg 600°; tg 1295°;
б) ctg 295°; ctg (—67°); ctg 654°.

7. Какие тригонометрические функции внутреннего угла треугольника могут принимать отрицательные значения и когда именно?

8. Могут ли быть отрицательными значения тригонометрических функций:

а) половины внутреннего угла треугольника;
б) полусуммы двух внутренних углов треугольника;
в) полуразности двух внутренних углов треугольника?

Источник

Теорема косинусов и синусов

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

К полученному выражению прибавим и отнимем квадрат второго катета:

Но так как b = c * cos α, то

Эту формулу мы получили для катетов в прямоугольном треугольнике, но аналогичная связь между стороной а и косинусом противолежащего угла справедлива и для произвольного треугольника.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

Следствие из теоремы косинусов: теорему косинусов также можно использовать для определения косинуса угла треугольника:

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

Приравниваем правые части уравнений:

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

Таким образом, теорема косинусов обобщает теорему Пифагора. Закон косинуса может быть использован для любого вида треугольника.

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Источник

Ещё немного о тригонометрии в вычислениях

На Хабре было уже много статей, посвящённых быстрым вычислениям тригонометрии, когда сильно надо, но я хотел бы дополнить их одной небольшой заметкой с отсылкой к школьной тригонометрии.

Иногда может не быть аппаратной реализации тригонометрии, иногда могут быть иные причины, чтобы изобретать методы ускорения вычисления.

Математика

Давайте вспомним некоторые простые формулы из школьного курса.

Начнём с простых:
(1)

Косинус/синус любого угла может быть приведён к аргументу в диапазоне от 0° до 45°, используя формулы первой группы.

Для малых углов тригонометрические функции могут быть сведены к асимптотическим разложениям, если отбрасываемые члены заведомо выходят за разрядную сетку.

Все промежуточные углы могут быть получены суммированием больших углов с некоторым шагом (а для них тригонометрию можно считать таблично), и остатков, которые рано или поздно дадут линейное разложение.

Применение

Дальше нужно будет выбрать шаг таблиц исходя из того, как мы хотим распределить вычисления, показатель степени 11 мы разделим на несколько частей. Например, можно разбить его на две части: 11=6+5, тогда нам понадобятся две таблицы размером 64 и 32 записи (итого 96), или на три части: 11=4+4+3 (размер таблиц 16+16+8=40 записей), но будет больше операций умножения — конкретный выбор будет зависеть от задачи и располагаемых ресурсов.

Ремарка: запись в таблице — это пара синус и косинус аргумента. Если храним с одинарной точностью, то размер записи 8 байт.

Пример

Давайте для примера возьмём разложение 4+4+3, а потом обобщим.

Шаг 1. Приведём аргумент x к нашей шкале, поделив его на константу pi/4 (назовём его x’ ).

[предположим для примера, что получился синус]

Шаг 3. Воспользуемся таблицами (напомню, что их 3), при этом индексами в таблице будут «битовые поля» в двоичном представлении аргумента x» — первые 4 бита после запятой, потом ещё 4, и ещё 3, а оставшиеся не при делах биты пойдут в остаток.

Табличные синус назовём S1, S2, S3, табличные косинусы — C1, C2, C3.

Шаг 4. Объединяем всё, что получилось:

Шаг 5. Если на шаге 2 мы сочли, что результат должен получиться отрицательным, то этот минус надо ввести в результат.

Заключение

Аналогичный подход может использоваться как для вычисления в вещественных числах любого размера, так и, например, для реализации специализированной арифметики с фиксированной запятой. Собственно, в своё время именно последняя задача меня и сподвигла поковыряться в эту сторону, но это было давно.

Источник

Основное тригонометрическое тождество

9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Связь между sin и cos одного угла

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.

В результате деления получаем:

Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1

Образовался прямоугольный треугольник OA₁B.

Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

Исходя из определений:

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества

задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.

применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.

Основные тригонометрические тождества

sin 2 α + cos 2 α = 1

tg 2 α + 1 =

1 + ctg 2 α =

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:

Подставляем значения sin α:

Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

Источник